大O O ^（lg3）中的Karatsuba算法通过替换证明

Question

Karatsuba算法涉及递归关系T(n) = 3T(n/2) + n。

通过递归树方法，我们可以将T的大O近似为O(nlog23)

然而，通过替换方法我无法验证递归树方法找到的近似结果

我只需使用lg 3来表示log23。

替代方法：

Hypothesis -> T(n) <= cnlg 3 where c is a positive constant
Proof -> T(n) <= 3c(n/2)lg 3 + n
                  =  cnlg 3 + n

但证据的第2步显示我无法证明我的假设是因为n个术语。

我修改了证明的第2步

T(n) <= cnlg 3 + nlg 3
      = (c+1)nlg 3

后来意识到我犯了一个错误，因为这个假设没有得到证实。

必须证明

T(n) <= cnlg 3，而不是T(n) <= (c+1)nlg 3

但答案是T(n)是O(nlg 3)

Answer 1

当使用替代方法时，你有时必须加强归纳假设，并猜测一种更复杂的表达形式，这种形式是复发的上限。

尝试猜测形式T（n）≤c ₀ n ^{lg 3} - c ₁ n。现在您要减去c ₁ n形式的某个项，您可以通过使用一些线性项来抵消稍后添加的n项，从而使重复计算成功。

例如：

  

T（n）≤3T（n / 2）+ n

     

≤3（c ₀ （n / 2） ^{lg 3} - c ₁ （n / 2））+ n

     

= 3（c ₀ （n / 2） ^{lg 3} ） - 3c ₁ n / 2 + n

现在，选择c ₁ ，使-3c ₁ n / 2 + n = -c ₁ n。这解决了

  

-3c ₁ n / 2 + n = -c ₁ n

     

-3c ₁ / 2 + 1 = -c ₁

     

-3c ₁ + 2 = -2c ₁

     

2 = c ₁

这个c ₁ 的选择将让你成功取消+ n项，让归纳成功。

希望这有帮助！