Question

问题

对于实现精确IEEE 754算法的C99编译器，f类型的divisor，float的值是否存在，f / divisor != (float)(f * (1.0 / divisor))？

编辑：通过“实现精确的IEEE 754算术”，我指的是一个将FLT_EVAL_METHOD正确定义为0的编译器。

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提供符合IEEE 754标准的浮点的AC编译器只能通过单次精度乘以逆来用常量替换单精度除法，如果所述逆本身可以表示为float。< / p>

在实践中，这只发生在两个人的权力上。因此，程序员Alex可能会确信f / 2.0f将被编译为f * 0.5f，但如果Alex可以接受0.10f而不是除以10， Alex应该通过在程序中编写乘法或使用编译器选项（如GCC的-ffast-math）来表达它。

这个问题是关于将单精度除法转换为双精度乘法。它总能产生正确的圆形结果吗？它是否有可能更便宜，因此是编译器可能做出的优化（即使没有-ffast-math）？

我已将(float)(f * 0.10)和f / 10.0f与f的所有单精度值进行了比较，介于1和2之间，未找到任何反例。这应该涵盖正常float s的所有分区，产生正常结果。

然后我用以下程序将测试推广到所有除数：

#include <float.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void){
  for (float divisor = 1.0; divisor != 2.0; divisor = nextafterf(divisor, 2.0))
    {
      double factor = 1.0 / divisor; // double-precision inverse
      for (float f = 1.0; f != 2.0; f = nextafterf(f, 2.0))
        {
          float cr = f / divisor;
          float opt = f * factor; // double-precision multiplication
          if (cr != opt)
            printf("For divisor=%a, f=%a, f/divisor=%a but (float)(f*factor)=%a\n",
                   divisor, f, cr, opt);
        }
    }
}

搜索空间足够大，使其变得有趣（2 ⁴⁶）。该程序目前正在运行。在完成之前，有人能告诉我它是否会打印出某些东西，或许是为什么或为什么不解释？

Answer 1

假设圆形连接到均匀舍入模式，您的程序将不会打印任何内容。论证的实质如下：

我们假设f和divisor都在1.0和2.0之间。对于f = a / 2^23范围内的某些整数divisor = b / 2^23和a，我需要b和[2^23, 2^24)。案例divisor = 1.0并不重要，因此我们可以进一步假设b > 2^23。

(float)(f * (1.0 / divisor))给出错误结果的唯一方法是精确值f / divisor如此接近中间情况（即两个单精度浮点数之间的数字正好）表达式f * (1.0 / divisor)中累积的错误将我们从真实值推到了那个中间案例的另一面。

但这不可能发生。为简单起见，我们首先假设f >= divisor，以便确切的商在[1.0, 2.0)。现在，[1.0, 2.0)区间内单精度的任何中间情况都具有c / 2^24形式，用于c的奇数整数2^24 < c < 2^25。 f / divisor的确切值为a / b，因此差异f / divisor - c / 2^24的绝对值下限为1 / (2^24 b)，因此至少为1 / 2^48（自{ {1}}）。因此，我们距离任何中途情况都超过b < 2^24双精度ulps，并且应该很容易证明双精度计算中的误差永远不会超过16 ulps。（我没有完成算术运算，但我猜想在误差上显示3 ulps的上限很容易。）

所以16不能足够接近中途案例来制造问题。请注意，f / divisor不能是一个完全中途的情况：由于f / divisor是奇数，c和c是相对素数，所以如果2^24是c / 2^24 = a / b的倍数，我们b的唯一方法就是2^24。但是b在(2^23, 2^24)范围内，所以这是不可能的。

f < divisor相似的情况：中途案例的格式为c / 2^25，类似的论证表明abs(f / divisor - c / 2^25)大于1 / 2^49，这再次给了我们使用16双精度ulps的余量。

Answer 2

如果可以使用非默认舍入模式，那肯定是不可能的。例如，在用3.0f / 3.0f替换3.0f * C时，小于精确倒数的C值会在向下或向零舍入模式中产生错误的结果，而值C 1}}大于精确倒数会产生向上舍入模式的错误结果。

如果您限制为默认舍入模式，我不太清楚您正在寻找的是什么。如果我拿出任何东西，我会考虑并修改这个答案。

Answer 3

随机搜索产生了一个例子。

看起来当结果是“非正规/次正规”数时，不等式是可能的。但是，也许我的平台不符合IEEE 754标准？

f        0x1.7cbff8p-25 
divisor -0x1.839p+116
q       -0x1.f8p-142
q2      -0x1.f6p-142

int MyIsFinite(float f) {
  union {
    float f;
    unsigned char uc[sizeof (float)];
    unsigned long ul;
  } x;
  x.f = f;
  return (x.ul & 0x7F800000L) != 0x7F800000L;
}

float floatRandom() {
  union {
    float f;
    unsigned char uc[sizeof (float)];
  } x;
  do {
    size_t i;
    for (i=0; i<sizeof(x.uc); i++) x.uc[i] = rand();
  } while (!MyIsFinite(x.f));
  return x.f;
}

void testPC() {
  for (;;) {
    volatile float f, divisor, q, qd;
    do {
      f = floatRandom();
      divisor = floatRandom();
      q = f / divisor;
    } while (!MyIsFinite(q));
    qd = (float) (f * (1.0 / divisor));
    if (qd != q) {
      printf("%a %a %a %a\n", f, divisor, q, qd);
      return;
    }
  }

}

Eclipse PC版：Juno Service Release 2 建造ID：20130225-0426

将单精度除法实现为双精度乘法

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3 个答案: