如何计算由递归给出的函数的确切最坏情况运行时间？

Question

我正在尝试计算最坏情况下运行时间的值，这个函数的最坏情况运行时间由此重现给出：

  

T（0）= 0

     

T（n）= n + T（n-1）（如果n> 0）

有人有任何建议如何做到这一点？我不知道如何解决这个问题。

Answer 1

尝试扩展重现可能会有所帮助，看看你是否发现了一种模式：

• T（0）= 0
• T（1）= 1 + T（0）= 1 + 0
• T（2）= 2 + T（1）= 2 + 1 + 0
• T（3）= 3 + T（2）= 3 + 2 + 1 + 0

基于此模式，它看起来像T（n）= 0 + 1 + 2 + ... + n。这是高斯制定的一个着名的总和，它解决了n（n + 1）/ 2。因此，我们可以推测T（n）= n（n + 1）/ 2。

你可以通过归纳证明这一点来形式化。作为基本情况，T（0）= 0 = 0（0 + 1）/ 2，所以一切都检出。对于归纳步​​骤，假设T（n）= n（n + 1）/ 2。然后T（n + 1）=（n + 1）+ T（n）=（n + 1）+ n（n + 1）/ 2 =（n + 1）（1 + n / 2）=（n + 1）（n + 2）/ 2 =（（n + 1））（（n + 1）+ 1）/ 2，也可以检出。

因此，您的确切值为T（n）= n（n + 1）/ 2。

希望这有帮助！