Question

在简单的素性检查中，通常的做法是检查从2到max = floor(sqrt(n))的除数。

在IEEE定义的浮点运算（比如32位和64位数）中，浮点错误是否会使未命中的因素略大于max ？

例如，max = floor(sqrt(REALLY_BIG_N))，但(max + 1) * something = REALLY_BIG_N。

如果我的问题不完全清楚，请发表评论。

（请注意，我对这里的primality检查备选方案不感兴趣，或者通过使用sqrt来避免使用x * x < n - 我的问题实际上是关于它是否适用于IEEE浮点运算。）

Answer 1

没有

我认为max+1可以表示为浮点值（它不是很大，超出了浮点格式可以表示区间中所有整数的区间）。

我还假设something中的(max+1) * something是大于max的整数。否则，先前在寻找除数时会发现它（或更小的因子）。这意味着 n ≤（ max +1）•（ max +1）。

正确实现的sqrt返回最接近其参数平方根的可表示值。因此，如果n的数学平方根至少为x+1，则sqrt(n)必须返回x+1或更高;它无法返回x，因为x距离平方根比x+1更远。因此，max = floor(sqrt(n))的结果不小于floor的数学值（sqrt（ n ））。

对于IEEE-754 64位二进制（以下称double），最多2 ⁵³的所有整数都是可表示的。 2 ⁵³ +1是第一个不可表示的整数。因此，上面告诉我们sqrt(n)足以满足所有n，但不包括（2 ⁵³ +1）²。当然，许多大的整数在double中都不能完全表示，所以你不能将它们传递给sqrt。

Answer 2

补充Eric Postpischil的回答：是的，然后再没有。这取决于floor(sqrt(n))非常大的情况下我们将如何解释n。

正如在Eric的回答中，让我们假设IEEE 754二进制64格式浮点和正确舍入sqrt，通常采用圆形连接到均匀舍入模式。我还假设访问n的任意精度整数类型。

第一种解释：假设允许n采用任何整数值，floor(sqrt(n))将被解释为floor(sqrt(convert_to_double(n)))。然后，n >= 2^1024 - 2^970会立即出现问题，因为此时convert_to_double会溢出。（我假设convert_to_double也是正确的四舍五入。）从另一端开始，Eric的答案已经表明我们很擅长但不包括n = (2^53 + 1)^2，正如他所说，{{ 1}}是一个问题案例：n = (2^53 + 1)^2的值为convert_to_double(n)，一个小于真值，2^106 + 2^54将向下舍入为sqrt(convert_to_double(n))，这意味着您的试用版除法函数将错过因子2^53。但是，考虑到2^53 + 1可以被2^53 + 1和3整除，试验部门很可能已经发现了其他因素，因此缺少107可能不是问题。在这种情况下，2^53+1应被视为第一个问题案例。（n = (2^53 + 5)^2是素数。）

第二种解释：假设2^53 + 5被约束为一个正整数，它可以完全表示为double。然后一个简洁的事实是n的任何除数也必须完全可以表示为双精度：n可以用n形式写成一些非负指数m•2^e和奇数e的整数m，m < 2^53的任何除数都可以n的形式写成d•2^f d的{{1}}和exponent { {1}} m。但是现在如果f是0 <= f <= e的除数小于x的精确平方根，n可以完全表示为double，那么 nearest < / em> n的平方根的可表示的double必须大于或等于x。因此，最高n的试验分区例程不能错过x。

只是为了好玩：在这里，我们只担心floor(sqrt(n))的值x给出的值太小。n如果您对floor(sqrt(n))给出的值太大的情况感兴趣，那么第一个示例会在floor(sqrt(n))之前发生很多。（证明作为练习留下。）

当然，这完全是学术性的：如果您正在进行数字大于n = (2^26 + 1)^2 - 1的试验分组，那么您将等待长时间来获得任何结果。 ..

Answer 3

在处理素数时没有理由使用浮点运算。永远！您应该循环直到max，其中d * d > n是试验除数，而d是正在测试的数字，而不是计算n。如果必须计算平方根，编写自己的函数，只使用整数运算;牛顿的方法与整数完美匹配。

编辑：这是一个计算整数平方根的简单函数：给定一个整数n，isqrt(n)返回*x不超过的最大整数x * x n;所有除法都是整数除法，它会截断任何小数余数：

function isqrt(n)
    x := n
    y := (x + n // x) // 2
    while y < x
        x := y
        y := (x + n // x) // 2
    return x

IEEE浮点错误能否让我错过素数搜索的一个因素？

3 个答案: