Question

问题

解释

如果可以写入N数字系统中的数字集，我们将自然数M定义为可写数字（WN）来自U成员的这个数字系统使用每个成员不超过一次。更严格的'书面'定义： - 此处CONCAT表示连接。
如果是{WN-，则N数字系统中的符号集，我们将自然数M定义为连续可实现的数字（CAN） U和M以及N-1的号码是U和M的CAN号码（另一个定义可能是N是CAN如果U和M的所有0 .. N个数字都是WN，则U和M。更严格：

问题

我们有一组S自然数： enter image description here （我们将零视为自然数）和自然数M，M>1。问题是找到给定U和M的最大CAN（MCAN）。给定集U 可能包含重复 - 但每个副本不能多次使用（即U包含{x，y，y，z}） - 然后每个y可以使用0或1次，因此y可以使用0 ... 2次总计）。同样U预计在M - 数字系统中有效（即8），任何成员中都不能包含符号9或M=8。原因是U的成员是数字，而不是M的符号（因此11对{{1}有效}） - 否则问题将是微不足道的。

我的方法

我现在想到一个简单的算法，它只是通过以下方式检查当前号码是否为CAN：

检查给定M=10和0的{{1}}是否为WN？转到2：我们已经完成，MCAN为空
检查给定U和M的{{1}}是否为WN？转到3：我们完成了，MCAN是1
...

因此，该算法试图构建所有这些序列。我怀疑这部分可以改进，但可能可以吗？现在，如何检查数字是否为WN。这也是某种“替代蛮力”。我已经意识到U（事实上，因为我们处理字符串，任何其他M都不是问题）PHP函数：

- 我们正在尝试一件，然后检查其余部分是否可以用递归写入。如果无法写入，我们正在尝试M=10的下一个成员。我认为这是可以改进的一点。

具体细节信息

如您所见，算法正在尝试在M之前构建所有数字，并检查它们是否为WN。但唯一的问题是 - 找到MCAN，所以问题是：

可能是建设性的算法在这里过度？并且，如果是，可以使用哪些其他选项？
是否有更快捷的方法来确定给定//$mNumber is our N, $rgNumbers is our U function isWriteable($mNumber, $rgNumbers) { if(in_array((string)$mNumber, $rgNumbers=array_map('strval', $rgNumbers), true)) { return true; } for($i=1; $i<=strlen((string)$mNumber); $i++) { foreach($rgKeys = array_keys(array_filter($rgNumbers, function($sX) use ($mNumber, $i) { return $sX==substr((string)$mNumber, 0, $i); })) as $iKey) { $rgTemp = $rgNumbers; unset($rgTemp[$iKey]); if(isWriteable(substr((string)$mNumber, $i), $rgTemp)) { return true; } } } return false; }和U的号码是否为WN？（如果前一点有正面答案，我们就不会构建并检查N之前的所有数字）。

样品

U = {4, 1, 5, 2, 0}
M = 10

然后MCAN = 2（无法达到3）

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
M = 10

然后MCAN = 21（之前都可以到达，U总共没有两个M符号。

Answer 1

哈希从0到m-1的数字的数字计数。散列由一个重复数字组成的大于m的数字。

MCAN受最小digit的约束，无法构造给定digit count的该数字的所有组合（例如，X000，X00X，X0XX，XX0X，XXX0，XXXX），或{ {0}}在零的情况下（例如，对于四个数字的所有组合，仅需要三个零的组合;对于零计数零，MCAN为空）。数字计数按升序进行评估。

示例：

(digit count - 1)

Answer 2

我所做的递归步骤是：

如果您的字母表中有数字字符串，请将其标记为已使用并立即返回
如果数字字符串的长度为1，则返回失败
将字符串分成两部分并尝试每个部分

这是我的代码：

$u = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11];

echo ncan($u), "\n"; // 21

// the functions

function satisfy($n, array $u)
{
        if (!empty($u[$n])) { // step 1
                --$u[$n];
                return $u;
        } elseif (strlen($n) == 1) { // step 2
                return false;
        }

        // step 3
        for ($i = 1; $i < strlen($n); ++$i) {
                $u2 = satisfy(substr($n, 0, $i), $u);
                if ($u2 && satisfy(substr($n, $i), $u2)) {
                        return true;
                }
        }

        return false;
}

function is_can($n, $u)
{
        return satisfy($n, $u) !== false;
}

function ncan($u)
{
        $umap = array_reduce($u, function(&$result, $item) {
                @$result[$item]++;
                return $result;
        }, []);
        $i = -1;

        while (is_can($i + 1, $umap)) {
                ++$i;
        }

        return $i;
}

Answer 3

这是另一种方法：

1）关于基数M的通常数值排序，对集合U进行排序 2）如果有0和（M-1）之间的符号缺失，那么这是第一个不是MCAN的数字。
3）找到集合U中具有最少条目数的第一个符号。由此我们在第一个数字上有一个上限，即非MCAN。这个数字是{xxxx} N次。例如，如果M = 4并且U = {0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3}，则数字333不是MCAN。这给了我们上限 4）因此，如果集合U的第一个元素具有较少的出现次数是x并且它具有C出现，那么我们可以清楚地表示具有C个数字的任何数字。（因为每个元素至少有C个条目） 5）现在我们问是否有任何小于（C + 1）x的数字不能是MCAN？那么，任何（C + 1）位数可以具有相同符号的（C + 1）或者仅具有相同符号的最多（C）。由于x从步骤3开始最小，因此对于y <1，（C + 1）y。 x可以完成，并且（C）a + b可以对任何不同的a，b进行，因为它们至少具有（C）拷贝。

上述方法仅适用于1个符号的集合元素。但是，我们现在看到，如果允许多符号元素，它会变得更复杂。考虑以下情况：

U = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1111,11111111}

定义c（A，B）='B'长度的'A'符号的数量。

因此，对于我们的例子，c（0,1）= 15，c（0,2）= 0，c（0,3）= 0，c（0,4）= 0，... c（1,1）= 3，c（1,2）= 0，c（1,3）= 0，c（1,4）= 1，c（0,5）= 0，...，c （1,8）= 1

我们不能做的最大0字符串是16.我们不能做的最大1字符串也是16.
1 = 1
11 = 1 + 1
111 = 1 + 1 + 1
1111 = 1111
11111 = 1 + 1111
111111 = 1 + 1 + 1111
1111111 = 1 + 1 + 1 + 1111
11111111 = 11111111
111111111 = 1 + 11111111
1111111111 = 1 + 1 + 11111111
11111111111 = 1 + 1 + 1 + 11111111
111111111111 = 1111 + 11111111
1111111111111 = 1 + 1111 + 11111111
11111111111111 = 1 + 1 + 1111 + 11111111
111111111111111 = 1 + 1 + 1 + 1111 + 11111111

但我们可以制作字符串11111101111吗？我们不能，因为最后1个字符串（1111）需要连续4个唯一的1组。一旦我们接受了，我们就不能制作前1个字符串（111111），因为我们只有8个（太大）或3个1长度太小。

因此，对于多符号，我们需要另一种方法。

我们知道从排序和排序字符串开始，给定符号的最小长度是多少。（在上面的例子中，它将是16个零或16个。）所以这是我们答案的上限。

我们现在必须做的是开始1并在基数M中计数。对于每个数字，我们将其写在基数M中，然后确定我们是否可以从我们的集合U中创建它。我们通过使用相同的方法来实现用于硬币更换问题：动态编程。（例如，参见http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-7-coin-change/算法。）唯一的区别是，在我们的例子中，我们只有每个元素的有限数量，而不是无限供应。

我们不会像硬币更改问题那样减去我们正在使用的金额，而是从我们尝试匹配的字符串前面剥离匹配符号。（这与我们的补充相反 - 连接。）

最大连续可达到的数量

3 个答案: