Question

我有两个自然数的数组{A_i}和{B_i}。所有元素的总和是相等的。

我需要将两个数组的每个元素分成三个自然数：

A_i = A1_i + A2_i + A3_i B_i = B1_i + B2_i + B3_i

这样A1的所有元素的总和等于B1的所有元素的总和，并且对于所有其他对，它们是相同的。

我最初忘记的重要部分：

A1 _j，A2 _j，A3 _j中的每个元素应位于A _j / 3-之间2和A _j / 3 + 2或至少等于这些数字之一

B1 _j，B2 _j，B3 _j中的每个元素应位于B _j / 3-之间2和B _j / 3 + 2或至少等于这些数字之一

因此，数组的元素必须分成几乎相等的部分

我寻找一些更优雅的解决方案，而不仅仅是为两个数组计算所有可能的变体。

Answer 1

我寻找一些更优雅的解决方案，而不仅仅是为两个数组计算所有可能的变体。

应该可以将它们分开，使得A1，A2和A3的总和接近A的三分之一，而B的相同。将所有值精确地设为三分之一很容易，但这不是可能有自然数字。所以我们必须floor结果（平凡）并在三个数组上统一分配余数（可管理）。

我不知道它是否是唯一的解决方案，但它可以在O(n)中运行，我的直觉说它会保留你的不变量（虽然我没有证明）：

n = 3
for j=0 to n
    A[j] = {}
x = 0 // rotating pointer for the next subarray
for i in A
    part = floor(A[i] / n)
    rest = A[i] % n
    for j=0 to n 
        A[j][i] = part

    // distribute the rest over the arrays, and rotate the pointer
    for j=0 to rest
        A[x][i]++
        x++

/* Do the same for B */

也可以在没有除法的情况下制定循环，仅将A [i]的单个单元（1）分布在A [x] [i]上：

n = 3
for j=0 to n
    A[j] = {}
    for k=0 to |A|
        A[j][i] = 0
x = 0 // rotating pointer for the next subarray
for i in A
    // distribute the rest over the arrays, and rotate the pointer
    for j=0 to A[i]
        A[x][i]++
        x++

Answer 2

您应该查看dynamic programming的原则。

在这种情况下，它似乎与某些coin change problems类似。

至于找到A1_i，A2_i，A3_i，你应该递归地进行：

def find_numbers(n, a, arr):
    if arr[n] not empty:
        return

    if n == 0:
        arr[n].append(a)
        return

    if a.size() > 2:
        return 
    t = n

    for each element of a:
        t -= element

    for i = 0 to :
         find_numbers(n, append(a, i), arr)

我们使用arr，因此我们不需要为每个数字计算可能组合的多倍。如果您在一段时间后查看调用树，此函数将返回arr的组合，而不是再次计算它们。在您的主要电话中：

arr = []
for each n in A:
    find_number(n, [], arr)
for each n in B:
    find_number(n, [], arr)

现在你在arr [n]中拥有每个n的所有组合。我知道这是问题的一个子部分，但是从arr找到每个A_i，B_i的正确组合是非常类似的。 ＆gt; 阅读我给你的链接非常重要，这样你才能理解背后的基本理论。

Answer 3

我添加了规定A1，A2和A3必须在不知道B的情况下从A计算，同样地，必须在不知道A的情况下计算B1，B2和B3。

要求每个A1 _i，A2 _i，A3 _i必须在[A _i / 3-2，A _i / 3 + 2]意味着A1，A2和A3元素的总和必须大约是A的三分之一。规定迫使我们定义这个完全。

我们将按任何顺序构造数组（例如，从元素0到最后一个元素）。在我们这样做时，我们将确保阵列保持接近平衡。

设x是要处理的A的下一个元素。设a为圆（x / 3）。为了考虑x，我们必须向数组A1，A2和A3追加总共3•a + r，其中r是-1,0或+1。

设d为sum（A1） - sum（A）/ 3，其中和是到目前为止处理的元素。最初，d为零，因为没有处理任何元素。根据设计，我们将确保每步的d为-2 / 3,0或+2/3。

将如下所示的三个值分别附加到A1，A2和A3：

如果r为-1且d为-2/3，则附加+ 1，a-1，a-1。这会将d更改为+2/3。
如果r为-1且d为0，则追加a-1，a，a。这会将d更改为-2/3。
如果r为-1且d为+2/3，则附加a-1，a，a。这会将d更改为0。
如果r为0，则附加a，a，a。这使得d保持不变。
如果r为+1且d为-2/3，则附加+ 1，a，a。这会将d更改为0。
如果r为+1且d为0，则附加+ 1，a，a。这会将d更改为+2/3。
如果r为+1且d为+2/3，则附加a-1，a + 1，a + 1。这会将d更改为-2/3。

最后，A1，A2和A3的总和由A模3的总和唯一确定。 A1的总和是（sum（A3）-2）/ 3，sum（A3）/ 3，或（sum（A3）+2）/ 3，根据A模3的和是否与-1一致，0 ，或分别为+1。

完成演示：

在任何情况下，a-1，a或a + 1都附加到数组中。 a是圆的（x / 3），因此它与x / 3相差小于1，因此a-1，a和a + 1各自与x / 3相差小于2，满足值必须的约束在[A _i / 3-2，A _i / 3 + 2]。

当B1，B2和B3以与上述A1，A2和A3相同的方式制备时，它们的总和由B3的总和确定。由于A的总和等于B的总和，因此A1，A2和A3的总和分别等于B1，B2和B3的总和。

根据要求拆分自然数的数组

3 个答案: