如何计算没有。包含子串“00”的二进制字符串？

Question

我需要计算包含“00”作为子字符串的可能子串。 我知道二进制字符串的长度。

例如：对于长度为4的字符串，可能的子字符串是： 0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1100

我只需要可能的组合数量，而不是枚举所有组合

PS：最大长度10 ^ 6

Answer 1

这是使用斐波那契n步数序列计算的。

长度为n的字符串中包含k 0的字符串排列数为2 ^ n-fibk（n + 2）。

在你的情况下你有k = 2所以你使用正常的斐波那契序列给你解决你的例子，字符串长度n = 4：2 ^ 4 - fib（6）= 16 - 8 = 8。 / p>

编辑：见：http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html

Answer 2

我想我可以给你一个算法的想法：

令count(n)为字符串长度n的包含“00”的可能子串的数量。

我们现在检查大小为s(n)的字符串n（n> 3）。设c[i]为其数字（1＆lt; = i＆lt; = n）和s(j)第一个j数字的子串（i <= j＆lt; n）。

1. 如果s(n-1)已包含“00”，则s(n)也包含“00”，无论c[n]是“0”还是“1”。因此，我们已经拥有符合条件的2 * count(n-1)字符串。
2. 如果s(n-1)不包含“00”，但s(n)不包含“{1}}，那么s(n-1)必须以”0“结尾（因此c[n-1]必须为”0“）并且c[n]必须为“0”。由于c[n-1] = "0"，c[n-2] 必须为“1”（否则s(n-1)将以“00”结尾）。所以我们知道s(n-1)以“10”结尾。 s(n-3)（在“10”之前的子字符串！）可以是任何不包含“00”的字符串，并且有2^(n-3) - count(n-3)个字符串。

添加两者，我们得到count(n) = 2*count(n-1) + 2^(n-3) - count(n-3)

我们知道count（1）= 0（因为字符串太短），count（2）= 1（00）和count（3）= 3（000,001,100）。所以我们可以开始迭代，让我们尝试n = 4（你已经有了结果）：

count(4) = 2*count(3) +2^1 - count(1) = 2*3 + 2 - 0 = 8