为什么红黑树的高度最多为2 * O（ln N + 1）？

Question

具有n个内部节点的红黑树的高度最多为2 * O（ln N + 1）。换句话说，红黑树的高度最多为两倍。

任何人都可以直观地解释为什么会这样吗？我不是在寻找归纳证明（我可以在网上找到它们）。这只是一个直观的原因吗？我不能想出一个例子，其中R-B树的高度最多为2 * O（ln N + 1）。

Answer 1

这个link给出了定理的直观证明。

下面，我将简单介绍一下校对的步骤：

1. 将红色节点合并到他们的黑人父母并获得一棵新树。
2. 生成的树将有节点分支2,3或4个孩子。
3. 观察：新树的黑色高度h＆＃39;将与原始树的黑色高度相同。
4. 观察：新树的高度h＆＃39;至少可以是原始树h高度的一半。 （即我们有h＆＃39;＆gt; = h / 2）
5. 一个完整的二叉树，高度为h＆＃39;有2 ^ h＆＃39; -1个内部节点。
   • 记住第2步，我们的新树在内部节点中分支2,3或4。
   • 因此，新树的内部节点数超过2 ^ h＆＃39; -1
   • 原始树具有比新树更多的内部节点（因为我们将红色节点合并为继承人黑色父母）。因此，n> = 2 ^ h＆＃39; -1

6. 其余的是代数：

   • n + 1> = 2 ^ h＆＃39; （取双方的对数）
   • lg（n + 1）＆gt; = h＆＃39; （我们知道上面第4步中的h＆＃39;＆gt; = h / 2）

最后我们得到

• 2lg（n + 1）> = h。

这样就完成了证明。