Question

我在找到分裂模数时陷入了一个程序。

比如我说：

((a*b*c)/(d*e)) % n

现在，我不能简单地计算表达式，然后将其模数为n，因为乘法和除法在循环中进行，并且该值足够大，即使在long long中也不适合。

_{正如评论中所阐明的那样，n可以被认为是素数。}

我发现，对于乘法，我可以很容易地将其计算为：

((a%n*b%n)%n*c%n)%n

但是无法理解如何计算除法部分。

我面临的问题是一个简单的例子：

((7*3*5)/(5*3)) % 11

上述表达式的值为7

但是如果我计算乘法，模数，那就像：

((7%11)*(3%11))%11 = 10
((10%11)*(5%11))%11 = 6

现在我剩下6/15，我无法生成正确的答案。

有人可以帮助我吗？请通过上面的例子让我理解逻辑。

Answer 1

由于11是素数， Z ₁₁是一个字段。由于15 % 11为4，1/15等于3（因为3 * 4 % 11为1）。因此，6/15为6 * 3，7 mod 11。

在你下面的问题评论中，你澄清模数永远是一个素数。

要有效地生成乘法逆的表，您可以将2提升到连续的幂，以查看它生成的值。请注意，在字段 Z _p中，其中p是奇素数，2 ^p-1 = 1.因此，对于 Z <子> 11 ：

2^1 = 2 2^2 = 4 2^3 = 8 2^4 = 5 2^5 = 10 2^6 = 9 2^7 = 7 2^8 = 3 2^9 = 6

因此5（2 ⁴）的乘法逆是2 ⁶（即9）。

因此，您可以像这样生成上表：

power_of_2[0] = 1; for (int i = 1; i < n; ++i) { power_of_2[i] = (2*power_of_2[i-1]) % n; }

乘法逆表可以这样计算：

mult_inverse[1] = 1; for (int i = 1; i < n; ++i) { mult_inverse[power_of_2[i]] = power_of_2[n-1-i]; }

Answer 2

在你的例子中，因为15 = 4 mod 11，你实际上最终必须评估（6/4）mod 11.

为了找到一个精确的解决方案，将其重新排列为6 =（（x * 4）mod 11），这使得模数除法更加清晰。

如果没有别的，如果模数总是很小，你可以从0迭代到模数1来得到解。

请注意，当模数不是素数时，减少的问题可能有多种解决方案。例如，对于4 =（（x * 2）mod 8）有两种解决方案：2和6.这将减少形式问题：

  a = ( (x * b) mod c)

每当b和c不是相对素数时（即每当它们共用一个公约数时）。

类似地，当b和c不是相对素数时，可能没有解决减少问题的方法。例如，3 =（（x * 2）mod 8）没有解决方案。只要b和c的最大公约数不分割a就会发生这种情况。

后两种情况是当n 不是素数时，从0到n-1 而不是在乘法下形成一个整数（或等效地，在+和*下面的一个字段）的整数的结果，而是简单地形成 ring 的不太有用的结构。

Answer 3

我认为问题的方式，应该假设分子可以被分母整除。在这种情况下，素数n的有限域解和关于非素数n的可能扩展和注意的推测基本上是矫枉过正。如果您将所有分子术语和分母术语存储在数组中，则可以迭代地测试（分子术语，分母术语）对并快速找到最大公约数（gcd），然后将分子术语和分母术语除以gcd 。（找到gcd是一个经典问题，你可以很容易地在线找到一个简单的解决方案。）在最坏的情况下，你将不得不迭代所有可能的对，但在某些时候，如果分母确实划分了分子，那么你最终会留下减少的分子项，所有分母项都是1.然后你就可以按照你描述的方式应用乘法（避免溢出）。

Answer 4

当n为素数时，除以整数b只是乘以b的逆。那就是：

(a / b) mod n = (a * inv(b)) mod n

，其中

inv(b) = (b ^ (n - 2)) mod n

使用Exponentiation by squaring算法可以在O（log（n））时间内完成计算inv（b）。这是代码：

int inv(int b, int n)
{
    int r = 1, m = n - 2;
    while (m)
    {
        if (m & 1) r = (long long)r * b % n;
        b = (long long)b * b % n;
        m >>= 1;
    }
    return r;
}

为什么会这样？根据费马的小定理，如果n是素数，则对于任何正整数b，b ^（n - 1）mod n = 1。因此我们有inv（b）* b mod n = 1。

查找inv（b）的另一个解决方案是Extended Euclidean algorithm，需要更多代码才能实现。

Answer 5

我认为你可以分发像

这样的部门

z = d*e/3
(a/z)*(b/z)*(c/z) % n

仅保留整数除法问题。

Answer 6

我认为你遇到的问题是你选择的问题太简单了。在那种情况下，答案是7，但如果a * b * c不能被c * d整除，怎么办？您应该首先查看如何使用模数进行除法，您应该清楚：）

Answer 7

不是划分，而是用乘法反转来思考。对于mod-n系统中的每个数字，如果满足某些条件，则应该存在反转。对于d和e，找到那些反转，然后它们只是成倍增加。通过划分找不到反转！那里有很多信息......

如何计算模数除法

7 个答案: