Question

T（1）= 1

T（n）= T（n ^ 1/3）+ 1

我该如何解决？通过“解决”我的意思是发现它的“复杂性”（我真的不知道怎么用英语说），比如O（nlogn）ecc。

我无法猜测替换方法;我没有使用迭代方法，我无法应用主定理。

我到了这里，但我不确定：

T（n）= T（n ^（1/3 ^ k）））+ k

你能给我一些建议吗？

Answer 1

我会尝试制定一些可能的解决方案。您可以根据进一步的限制选择一个。

递归将一直运行到n变为1。这是：

1 = n^(1/3^k)

或更一般地

b = n^(1/3^k)

其中k是递归深度。解决k的问题得出：

ln(b) = 1/3^k * ln(n)
ln(ln(b) / ln(n)) = k * ln(1/3)
-ln(ln(b) / ln(n)) / ln(3) = k

如果我们将b设置为1，则等式变得无法解析，因为未指定ln(0)。这相当于无休止的递归。

但是，我们可以说在最后一次递归中n应该是“大约1”。所以我们实际上有一个b != 1。然后k是：

k = -ln(ln(b) / ln(n)) / ln(3)
  = -ln(c1 / ln(n)) / c2
  = -(ln(c1) - lnln(n)) / c2
  = (-c3 + lnln(n)) / c2

这应该是O(log log n)。

如果要将n截断为整数部分，计算会变得非常混乱，因为每个步骤后都有特殊情况。但是，我们可以通过指定b = 1.999999来估算结果。这将产生与上述相同的复杂性。

Answer 2

如果这是一个递归函数，那么我所理解的是 T（n）= T（integerpart（cubicsquare（n））+1;

在这种情况下：

S=0;
if (n>=1){
S++;
N= n;
while  (N>1){
N=integerpart(N^1/3);
S++;
}

}
T(n)= S ;

这意味着T（n）是一个简单函数：具有整数绑定，并且keme间隔的宽度为2 ^（3 ^ k） - 2 ^（3 ^（k-1））

你可以看到，第一个区间是n in] 1,8 [T（n）= 2;如果n在[8,252 [，T（n）= 3 ... 所以，我们可以说t（2 ^（3 ^ k））= k + 1; 那么t（n）~O（ln（ln（n））/ ln（3））（考虑套房2 ^ 3 ^ k）