我想计算范围[1，x]中n的共素数。我已经尝试过使用euler phi函数，但是它给出了[1，n]。任何人都建议修改euler phi或任何其他方法来做到这一点？ 我使用了（1-（1 / p））的phi（n）= n *乘积，其中p是n的素因子。
答案 0 :(得分：2)
您可以使用Inclusion-Exclusion Principle
找出N的唯一素因子（它们不能超过10-12，考虑N和X <= 10 ^ 10）。
现在你可以找到数字的数量＆lt; = x并且可以通过除以'y'整除。为y 尝试n的所有因子组合（在最坏的情况下，你只得到2 ^ 10（1024））。 现在使用包含排除来查找n小于x的共素。
这个想法是，如果一个数字不是n的共同素数，那么它将具有 与n。
共同的至少一个主要因素
对于我们这里的例子，我们可以考虑X = 35和N = 30
首先找到该数字的唯一素因子。 （他们的人数不得超过10-12）。唯一的素数因子N = {2,3,5}。
查找每个因素的产品 PAIR 。 {2x3,2x5,3x5或6,10,15}。
查找每个因素 TRIPLET 的产品：{2x3x5或30}。
重复直到所有因素相乘：{N = 30且不再需要步骤}。
从步骤1中找出X除以每个因子的总和：{X = 35：（35/2）+（35/3）+（35/5）=（17 + 11 + 7）= 35}
在步骤2中找出X除以每个数字的总和：{X = 35:35/65 + 3 + 2 = 10}
在步骤3中找出X除以每个数字的总和：{X = 35：1}
重复直至吸收步骤4的所有结果：{x = 35不再需要步骤}
范围[1..X] = X - 步骤5 +步骤6 - 步骤7等中的N的共素数。{N = 30，X = 35由35 - 35 + 10 - 1给出= 9}。
对于N = 30，X = 60，您将拥有：
60 - （60/2 + 60/3 + 60/5）+（60/6 + 60/10 + 60/15） - （60/30）= 60 - （30 + 20 + 12）+（10 + 6 + 4） - 2 = 60-62 + 20 - 2 = 16.
假设X = 10.N = 6 = 2 * 3.
我们有数字{1,2,3，...，10}。
删除所有的2的倍数。你得到：{1,3,5,7,9}。
删除所有3的倍数。你得到：{1,5,7}。
我们如何有效地计算？尝试回答这个问题：[1，X]中有多少个可以被p整除的数字？楼层（X / p），对吗？即，p，2p，...，kp，其中kp <= X.因此，从X，我们可以减去Floor（X / p）， 你会得到[1，X]中p相对素数的数字。
在此示例中，有10个数字。被2整除的数字的数量是10/2，即5。因此，10-5 = 5个数字相对于2的素数。相似，有10/3 = 3个数字是3的倍数。所以，我们可以说有5-3 = 2个数字是2和3的相对素数？不，因为你有双倍数！为什么？ p = 2和3的计数中包括6个。因此我们必须通过加上2和3的倍数来解释这个。在[1,10]中只有2和3的一个倍数，即6。所以，添加1.这意味着，答案是10 - 5 - 3 + 1 = 3，这是对的。
这是对包含和排除原则的概括。对于每一个n，我们只是找到它的主要因素，我知道肯定会少于10个左右。这是使用Eratosthenes筛，然后进行素因子分解。 （由于X <10 ^ 9，一个数将具有的素数因子的最大数量较少。尝试找出前10个素数的乘积。它将是：6469693230，约为~64 * 10 ^ 9。（我认为最大限制为10 ^ 10.这可以很容易地扩展到像10 ^ 18这样的大数字。）
我希望这会有所帮助!!