我收到了一段处理代码，似乎是设置了randomized Fourier series。不幸的是，尽管我努力提高自己的数学技能，但我不知道它在做什么，我发现的articles没什么帮助。
我正在尝试扩展此代码，以便我可以绘制与下面的代码创建的斜率上的点相切的线。我能找到的最接近答案的是mathematics forum。不幸的是，我并不真正理解正在讨论的是什么，或者它是否真的与我的情况有关。
对于如何计算此曲线上特定点的切线，我们将非常感激。
更新截至2013年6月17日
我一直试图解决这个问题，但没有取得多大成功。这是我能做的最好的，我怀疑我是否正确应用导数来找到切线（或者即使我在正确的位置找到了导数）。而且，我开始担心即使我有其他一切正确，我也没有正确划线。如果有人能提供这方面的意见，我会很感激。
final int w = 800;
final int h = 480;
double[] skyline;
PImage img;
int numOfDeriv = 800;
int derivModBy = 1; //Determines how many points will be checked
int time;
int timeDelay = 1000;
int iter;
double[] derivatives;
void setup() {
noStroke();
size(w, h);
fill(0,128,255);
rect(0,0,w,h);
int t[] = terrain(w,h);
fill(77,0,0);
for(int i=0; i < w; i++){
rect(i, h, 1, -1*t[i]);
}
time = millis();
timeDelay = 100;
iter =0;
img = get();
}
void draw() {
int dnum = 0; //Current position of derivatives
if(iter == numOfDeriv) iter = 0;
if (millis() > time + timeDelay){
image(img, 0, 0, width, height);
strokeWeight(4);
stroke(255,0,0);
point((float)iter*derivModBy, height-(float)skyline[iter*derivModBy]);
strokeWeight(1);
stroke(255,255,0);
print("At x = ");
print(iter);
print(", y = ");
print(skyline[iter]);
print(", derivative = ");
print((float)derivatives[iter]);
print('\n');
lineAngle(iter, (int)(height-skyline[iter]), (float)derivatives[iter], 100);
lineAngle(iter, (int)(height-skyline[iter]), (float)derivatives[iter], -100);
stroke(126);
time = millis();
iter += 1;
}
}
void lineAngle(int x, int y, float angle, float length)
{
line(x, y, x+cos(angle)*length, y-sin(angle)*length);
}
int[] terrain(int w, int h){
width = w;
height = h;
//min and max bracket the freq's of the sin/cos series
//The higher the max the hillier the environment
int min = 1, max = 6;
//allocating horizon for screen width
int[] horizon = new int[width];
skyline = new double[width];
derivatives = new double[numOfDeriv];
//ratio of amplitude of screen height to landscape variation
double r = (int) 2.0/5.0;
//number of terms to be used in sine/cosine series
int n = 4;
int[] f = new int[n*2];
//calculating omegas for sine series
for(int i = 0; i < n*2 ; i ++){
f[i] = (int) random(max - min + 1) + min;
}
//amp is the amplitude of the series
int amp = (int) (r*height);
int dnum = 0; //Current number of derivatives
for(int i = 0 ; i < width; i ++){
skyline[i] = 0;
double derivative = 0.0;
for(int j = 0; j < n; j++){
if(i % derivModBy == 0){
derivative += ( cos( (f[j]*PI*i/height) * f[j]*PI/height) -
sin(f[j+n]*PI*i/height) * f[j+n]*PI/height);
}
skyline[i] += ( sin( (f[j]*PI*i/height) ) + cos(f[j+n]*PI*i/height) );
}
skyline[i] *= amp/(n*2);
skyline[i] += (height/2);
skyline[i] = (int)skyline[i];
horizon[i] = (int)skyline[i];
derivative *= amp/(n*2);
if(i % derivModBy == 0){
derivatives[dnum++] = derivative;
derivative = 0;
}
}
return horizon;
}
void reset() {
time = millis();
}
答案 0 :(得分：3)
在这种特殊情况下，您似乎不需要了解傅立叶系列，只要它具有以下形式：
A0 + A1*cos(x) + A2*cos(2*x) + A3*cos(3*x) +... + B1*sin(x) + B2*sin(x) +...
通常您会获得一个函数f(x)，您需要找到An和Bn的值，以便傅里叶级数收敛到您的函数（随着您添加更多功能）某些时间间隔[a, b]。
在这种情况下，他们想要一个随机函数，它看起来像不同的块和坑（或上下文可能暗示的丘陵和山谷），因此他们从最小值和最大值之间的傅里叶级数中选择随机项并将它们的系数设置为1 （否则概念上为0）。他们还满足于傅里叶系列的4个正弦项和4个余弦项（这肯定比无数个项更容易管理）。这意味着他们的傅里叶级数最终看起来像不同频率的不同正弦和余弦函数加在一起（并且都具有相同的幅度）。
如果您记得：
，那么找到这个的衍生物很容易 sin(n*x)' = n * cos(x)
cos(n*x)' = -n * sin(x)
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
因此计算导数的循环看起来像：
for(int j = 0; j < n; j++){
derivative += ( cos( (f[j]*PI*i/height) * f[j]*PI/height) - \
sin(f[j+n]*PI*i/height) * f[j+n]*PI/height);
}
在某个时刻i（请注意，i正在采用衍生物，因为这是代表我们x位置的变量。）
希望有了这个，您应该能够计算点i处的切线方程。
<强>更新
在您执行skyline[i] *= amp/(n*2);时，您还必须相应地调整您的衍生产品derivative *= amp/(n*2);，但是当您执行skyline[i] += height/2;
答案 1 :(得分：0)
我收到了an answer to this problem via "quarks" on processing.org form。基本上问题是我正在采用系列中每个项的导数而不是取整个系列之和的导数。另外，我还没有正确地应用我的结果。
这是夸克提供的代码，最终解决了这个问题。
final int w = 800;
final int h = 480;
float[] skyline;
PImage img;
int numOfDeriv = 800;
int derivModBy = 1; //Determines how many points will be checked
int time;
int timeDelay = 1000;
int iter;
float[] tangents;
public void setup() {
noStroke();
size(w, h);
fill(0, 128, 255);
rect(0, 0, w, h);
terrain(w, h);
fill(77, 0, 0);
for (int i=0; i < w; i++) {
rect(i, h, 1, -1*(int)skyline[i]);
}
time = millis();
timeDelay = 100;
iter =0;
img = get();
}
public void draw() {
if (iter == numOfDeriv) iter = 0;
if (millis() > time + timeDelay) {
image(img, 0, 0, width, height);
strokeWeight(4);
stroke(255, 0, 0);
point((float)iter*derivModBy, height-(float)skyline[iter*derivModBy]);
strokeWeight(1);
stroke(255, 255, 0);
print("At x = ");
print(iter);
print(", y = ");
print(skyline[iter]);
print(", derivative = ");
print((float)tangents[iter]);
print('\n');
lineAngle(iter, (int)(height-skyline[iter]), (float)tangents[iter], 100);
lineAngle(iter, (int)(height-skyline[iter]), (float)tangents[iter], -100);
stroke(126);
time = millis();
iter += 1;
}
}
public void lineAngle(int x, int y, float angle, float length) {
line(x, y, x+cos(angle)*length, y-sin(angle)*length);
}
public void terrain(int w, int h) {
//min and max bracket the freq's of the sin/cos series
//The higher the max the hillier the environment
int min = 1, max = 6;
skyline = new float[w];
tangents = new float[w];
//ratio of amplitude of screen height to landscape variation
double r = (int) 2.0/5.0;
//number of terms to be used in sine/cosine series
int n = 4;
int[] f = new int[n*2];
//calculating omegas for sine series
for (int i = 0; i < n*2 ; i ++) {
f[i] = (int) random(max - min + 1) + min;
}
//amp is the amplitude of the series
int amp = (int) (r*h);
for (int i = 0 ; i < w; i ++) {
skyline[i] = 0;
for (int j = 0; j < n; j++) {
skyline[i] += ( sin( (f[j]*PI*i/h) ) + cos(f[j+n]*PI*i/h) );
}
skyline[i] *= amp/(n*2);
skyline[i] += (h/2);
}
for (int i = 1 ; i < w - 1; i ++) {
tangents[i] = atan2(skyline[i+1] - skyline[i-1], 2);
}
tangents[0] = atan2(skyline[1] - skyline[0], 1);
tangents[w-1] = atan2(skyline[w-2] - skyline[w-1], 1);
}
void reset() {
time = millis();
}