解释了将double转换为32位int的快速方法

Question

在阅读Lua's源代码时，我注意到Lua使用macro将double舍入到32位int。我提取了macro，它看起来像这样：

union i_cast {double d; int i[2]};
#define double2int(i, d, t)  \
    {volatile union i_cast u; u.d = (d) + 6755399441055744.0; \
    (i) = (t)u.i[ENDIANLOC];}

此处ENDIANLOC定义为endianness，0定义为小端，1定义为大端。 Lua小心翼翼地处理字节序。 t代表整数类型，例如int或unsigned int。

我做了一些研究，并且有一个更简单的macro格式使用了同样的想法：

#define double2int(i, d) \
    {double t = ((d) + 6755399441055744.0); i = *((int *)(&t));}

或者用C ++风格：

inline int double2int(double d)
{
    d += 6755399441055744.0;
    return reinterpret_cast<int&>(d);
}

这个技巧可以在任何使用IEEE 754的机器上运行（这意味着今天几乎每台机器都有）。它适用于正数和负数，并且舍入遵循Banker's Rule。 （这并不令人惊讶，因为它遵循IEEE 754。）

我写了一个小程序来测试它：

int main()
{
    double d = -12345678.9;
    int i;
    double2int(i, d)
    printf("%d\n", i);
    return 0;
}

按预期输出-12345679。

我想详细介绍这个棘手的macro是如何工作的。幻数6755399441055744.0实际上是2^51 + 2^52，或1.5 * 2^52，而二进制中的1.5可以表示为1.1。当任何32位整数被添加到这个神奇数字时，好吧，我从这里迷路了。这个技巧如何运作？

P.S：这是Lua源代码Llimits.h。

更新：

1. 正如@Mysticial所指出的，这种方法并不局限于32位int， 只要数字在，它也可以扩展为64位int 范围为2 ^ 52。 （macro需要进行一些修改。）
2. 有些材料称此方法无法在Direct3D中使用。

3. 使用Microsoft汇编程序for x86时，有一个偶数 写在macro中的更快assembly（这也是从Lua源中提取的）：

   #define double2int(i,n)  __asm {__asm fld n   __asm fistp i}
   

4. 单精度数有一个类似的幻数：1.5 * 2 ^23

Answer 1

double表示如下：

它可以看作是两个32位整数;现在，代码的所有版本中的int（假设它是一个32位int）是图中右侧的那个，所以你最后所做的只是服用尾数的最低32位。

---

现在，到神奇的数字;正如你所说，6755399441055744是2 ^ 51 + 2 ^ 52;添加这样的数字迫使double进入2 ^ 52和2 ^ 53之间的“甜蜜范围”，正如维基百科here所解释的那样，它具有一个有趣的属性：

  

在2 ⁵² = 4,503,599,627,370,496和2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992之间，可表示的数字正好是整数

这是因为尾数是52位宽。

关于添加2 ⁵¹ +2 ⁵² 的另一个有趣的事实是，它仅在两个最高位中影响尾数 - 无论如何它们都被丢弃，因为我们正在服用只有最低的32位。

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最后但并非最不重要：标志。

IEEE 754浮点使用幅度和符号表示，而“普通”机器上的整数使用2的补码算法;这是怎么处理的？

我们只谈到正整数;现在假设我们正在处理32位int可表示的范围内的负数，因此（绝对值）小于（-2 ^ 31 + 1）;称之为-a。通过添加幻数，这个数字显然是正数，结果值是2 ⁵² +2 ⁵¹ +（ - a）。

现在，如果我们在2的补码表示中解释尾数，我们会得到什么？它必须是2的补码和（2 ⁵² +2 ⁵¹ ）和（-a）的结果。同样，第一项仅影响高两位，0~50位中剩余的是（-a）的2的补码表示（再次，减去高位两位）。

由于只是通过切掉左边的额外位来将2的补码数减少到更小的宽度，所以取下32位可以正确地给出（-a）32位，2的补码算法。

Answer 2

这种“技巧”来自较旧的x86处理器，使用8087指令/接口进行浮点运算。在这些计算机上，有一条指令可将浮点转换为整数“ fist”，但它使用当前的fp舍入模式。不幸的是，C规范要求fp-> int转换截断为零，而所有其他fp操作都舍入为最接近的值，因此执行
fp-> int转换首先需要更改fp舍入模式，然后进行拳头操作，然后再恢复fp舍入模式。

现在在最初的8086/8087上还算不错，但是在后来开始获得超标量和无序执行的处理器上，更改fp舍入模式通常会串行化CPU内核，并且相当昂贵。因此，在奔腾III或奔腾IV等CPU上，总体成本非常高-正常的fp-> int转换要比此add + store + load技巧贵10倍甚至更多。

但是，在x86-64上，浮点数是通过xmm指令完成的，转换的成本是
fp-> int很小，因此这种“优化”可能比正常转换要慢。

Answer 3

这是上述Lua技巧的更简单实现：

/**
 * Round to the nearest integer.
 * for tie-breaks: round half to even (bankers' rounding)
 * Only works for inputs in the range: [-2^51, 2^51]
 */
inline double rint(double d)
{
    double x = 6755399441055744.0;  // 2^51 + 2^52
    return d + x - x;
}

该技巧适用于绝对值<2 ^ 51的数字。

这是一个用于测试它的小程序：ideone.com

#include <cstdio>

int main()
{
    // round to nearest integer
    printf("%.1f, %.1f\n", rint(-12345678.3), rint(-12345678.9));

    // test tie-breaking rule
    printf("%.1f, %.1f, %.1f, %.1f\n", rint(-24.5), rint(-23.5), rint(23.5), rint(24.5));      
    return 0;
}

// output:
// -12345678.0, -12345679.0
// -24.0, -24.0, 24.0, 24.0