Question

这是我教科书中的一个问题。 Collatz conjecture（或“3n + 1”问题）的工作原理如下（给出一些自然数 n ）：

while n > 1 do
    if n is even then
        n = n / 2
    else
        n = 3n + 1
    end if
end while

我已经浏览了一些关于这个猜想的论文，但他们都超过了我的脑海。我试图对算法的复杂性有一个基本的了解。是否可以对执行的操作数量的上限或下限进行评论（在最坏的情况下）？

我唯一能够推断的是，最佳情况输入必须是n = 2 ^ k的形式（这将导致最少的操作）。从这一点可以说，最坏情况的输入是两个非幂？

我一直在努力尝试概念化粗略的上限或下限。对于任何 n ，似乎从奇数到偶数的转换太多（导致增加3倍或减少2倍）来评论最少/最多金额进行的计算。

感谢任何帮助。

Answer 1

建立@Kevin的评论：现在，我们甚至不确定这个过程终止所有输入。序列总是很有可能终止，并且很可能存在序列永远不会终止的输入。

在序列永远不会终止某些输入的情况下，最坏情况输入将是序列永不停止的任何数字。这不一定与“任何非二次幂”相同，因为我们知道序列收敛的许多非幂二（例如，15）。

在序列总是针对所有输入终止的情况下，为了确定“最坏情况”输入是什么，我们必须更仔细地研究为什么会这样。所有非二次幂都不太可能是最坏情况的输入。有可能会有一个无限的自然数族，它们形成围绕它们大小的数字的最坏情况输入，类似于斐波那契数字给出欧几里德算法的最坏情况输入。

当然，现在还不知道这一点 - 这就是解决开放性问题的美妙之处！

希望这有帮助！