Question

我正在通过Learn You a Haskell工作，我正在讨论幺半群。在本节中，作者为树定义了foldMap方法，如下所示：

instance F.Foldable Tree where  
    foldMap f Empty = mempty  
    foldMap f (Node x l r) = F.foldMap f l `mappend`  
                             f x           `mappend`  
                             F.foldMap f r

哪个工作正常，完全是个傻瓜。然而，他然后说“现在我们的树类型有一个可折叠的实例，我们可以免费获得foldr和foldl！”并显示以下代码：

testTree = Node 5  
            (Node 3  
                (Node 1 Empty Empty)  
                (Node 6 Empty Empty)  
            )  
            (Node 9  
                (Node 8 Empty Empty)  
                (Node 10 Empty Empty)  
            )  

ghci> F.foldl (+) 0 testTree  
42  
ghci> F.foldl (*) 1 testTree  
64800

现在我很困惑。没有为Trees编写foldl或foldr的实现。这些函数看起来有点像foldmap，但是将初始累加器作为树的头部，然后将foldMapping放在适当的monoid上，但它实际上不能像这样工作，因为foldl和foldr占用的功能比monoids'+'和'*'作为参数。 foldl和foldr实际上在哪里实现，它们如何工作，以及为什么定义foldMap会使它们存在？

Answer 1

看看source of Foldable。它使用foldr来定义foldMap，反之亦然，所以它足以定义一个对您来说更方便的那个（尽管实现两者都可以为您带来一些性能优势）：

foldr :: (a -> b -> b) -> b -> t a -> b
foldr f z t = appEndo (foldMap (Endo . f) t) z

让我们来看一下这里的例子。假设我们即将折叠列表[i, j, k]。 f和z的右侧折叠是

f i (f j (f k z))

这可以表示为

(f i . f j . f k) z

使用f，我们会将列表中的每个元素转换为b上的endomorphism并将它们组合在一起。现在，endomorphisms形成一个monoid，使用Endo在Haskell中表示：mempty只是id而mappend是.。所以我们可以将其重写为

appEndo (Endo (f i) `mappend` Endo (f j) `mappend` Endo (f k)) z

我们可以将内部部分表达为foldMap (Endo . f) [i, j, k]。

总结：关键的想法是某些域上的内同态形成一个幺半群，f :: a -> (b -> b)将a的元素映射到b上的内同态。

反向表示为

foldMap f = foldr (mappend . f) mempty

我们f :: a -> m其中m是一个幺半群，并且使用mappend撰写mappend . f :: a -> (m -> m)，我们得到x，其中a类型为m {1}}并在u :: m上构建一个将mappend (f u) k转换为{{1}}的函数。然后它使用此函数折叠结构的所有元素。

Answer 2

来自http://hackage.haskell.org/packages/archive/base/latest/doc/html/src/Data-Foldable.html#Foldable：

class Foldable t where

    ... 

    foldMap :: Monoid m => (a -> m) -> t a -> m
    foldMap f = foldr (mappend . f) mempty

    ...

    foldr :: (a -> b -> b) -> b -> t a -> b
    foldr f z t = appEndo (foldMap (Endo . f) t) z

    ...

    foldl :: (a -> b -> a) -> a -> t b -> a
    foldl f z t = appEndo (getDual (foldMap (Dual . Endo . flip f) t)) z

所以你有默认的实现（在这种情况下甚至是循环）。这就是为什么有一个评论：“最小的完整定义：foldMap或foldr。”在Foldable类型类的说明中（请参阅http://hackage.haskell.org/packages/archive/base/latest/doc/html/Data-Foldable.html）

此技术的一个更简单的示例是Eq类型类，其中(==)和(/=)是相互定义的，但当然您需要实现至少一个它们在一个实例中（否则你会得到一个无限循环）。

foldable的foldl / foldr实现来自haskell中的二叉树？

2 个答案: