用模量计算大功率

Question

我目前正在研究一些事情，我需要计算像

这样的值

（65 ^ 17）mod 3233 = *

上述问题的答案是2790，但是因为65 ^ 17大于Math.pow可以返回的值，所以它总是给出错误的答案。

我已经使用BigIntegers（以及内置的modPow）编写了一个实现，但是如果可能的话我想避免使用它们。

是否有其他方法可以避免使用BigIntegers？

Answer 1

如果x = y (mod n)和u = v (mod n)则x.u = y.v (mod n)（其中'。'表示乘法）

重复应用这个用于减少65 ^ 17 mod 3233，

e.g。

65 * 65 (mod 3233) = 992

65 * 992 (mod 3233) = 3053

3053 * 65 (mod 3233) = 1232
.
.
.

事实上，我们可以缩短这一点，因为我们已经计算了65^4 (mod 3233) = 1232

所以，

65^8 (mod 3233) = 1232 * 1232 (mod 3233) = 1547

65^16 (mod 3233) = 1547 * 1547 = 789

最后，

65^17 = 789 * 65 (mod 3233) =  2790

Answer 2

Mitch Wheat的简洁但有些神秘的 ¹ 回答意味着这应该有效（伪代码）：

   res = 1
   for i in 1 to 17:
       res = (res * 65) mod 3233

由于模数算术的数学属性，你根本不需要使用BigInteger。

FWIW，使用Math.pow()不起作用的原因是它使用浮点算法计算65 ¹⁷ 。 pow的结果太大而无法准确表示为double，因此您会丢失一些最不重要的数字;即数字“右手端”的那些。不幸的是，当你取模数时，这些数字很重要。

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^{1 - ......如果数学不是你更强大的技能之一......}