有多少种方法可以制作一组2个因子？ （C / C ++）

Question

如果假设数字X = A1 * A2 * ... * An，其中A1，A2，..，An是X的因子。 我们可以通过多少种方式安排这些因素，这些因素一次2个为父母的身份？

假设X有5个因子，如g，h，j，k 表达式ghjk可以用5种方式评估，即（（（gh）j）k），（g（h（jk））），（g（（hj）k）），（（g（hj））k）和（ （GH）（JK））

所以输入为 ghjk

输出应该是 5

如何在C / C ++中执行此操作？

给出1＆lt; N＆lt; 34 ..

Answer 1

我认为你的意思是“X有5个因子，如g，h，j，k，i”你只为上面的X放了4个因子。 看起来你正在寻找5组中2个元素的组合。

这不是S的简单组合选择K而不重复：

N！ / k！（n-k）！

其中n是集合中元素的数量，k是k组合。

对你而言，它将是5个集合中的2个子集：（n = 5，k = 2）

5！ / 2！*（5-2）！ = 5！ /（2！* 3！）= 10

（g，h），（g，j），（g，k），（g，i）

（h，j），（h，k），（h，i）

（j，k），（j，i）

（K，I）

因此，在一组5中，有2种因素实际上有10种可能的组合。

Answer 2

不改变因子的顺序，n因子的乘积可以C(n-1)方式括起来，其中C(k)是k - {{3} }，

C(k) = 1/(k+1) * \binom(2*k, k)
     = 1/(k+1) * (2k)!/(k!)²

由于n因子乘积的（完全）括号等同于构建带有n叶子的二叉树，这也是具有{{1}的二叉树的不同结构的数量离开。

如果允许更改因子的顺序，则必须将其乘以因子的不同顺序的数量，如果没有重复因子，则只需n，并且

n!

如果n!/(a_1! * ... * a_k!) 个不同因素分别具有多重性k。

Answer 3

您的问题是使用Catalan numbers：Cn是为关联表达式括起句法的方式。它也是具有n + 1个叶子的可能全二进制树的数量（完整二叉树=一个树，其中每个节点恰好有2个子节点，或者是一个离开）。

因此，可以use recursion to generate all combinations：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

typedef std::vector<std::string> str_vector;

// Combine u and v, and add the result to w
// u and v contains all possible combinations with respectively m and n - m letters
// So w will contain combinations with n letters
void combine(str_vector& w, const str_vector& u, const str_vector& v)
{
    for(unsigned int t = 0; t < u.size(); t++)
        for(unsigned int i = 0; i < v.size(); i++)
            w.push_back("(" + u[t] + v[i] + ")");
}

// The function resolving our problem
// It output an array containing all possible combinations
// with n letters, starting with startLetter
str_vector problem(unsigned int n, char startLetter)
{
    if(n == 1)
        // Only one combination with one letter.
        // Array with 1 string which contains only one character
        return str_vector(1,std::string(1,startLetter));
    else
    {
        str_vector w;
        // Get all combinations for n-1 letters, and add them to w
        for(unsigned int t = 1; t < n; t++)
            combine(w, problem(t, startLetter), problem(n - t, startLetter + (char)t));
        return w;
    }
}

int main()
{
    // Get all possible combinations with 4 letters
    const str_vector& r = problem(4,'a');

    // Print all solutions
    for(unsigned int t = 0; t < r.size(); t++)
        std::cout << r[t] << "\n";
}

此代码不是最快的也不是最优化的。但是，我认为它非常易读。

对于组合的数量，公式为：

这可以简化为：

       (2n)!
Cn = ---------
     n!² (n+1)

计算Cn为您提供具有n + 1个标识符的组合数。但是，它并没有为您提供解决方案。