Question

回到编程比赛的一段时间，我遇到了一个令人费解的问题，从那以后一直困扰着我。虽然我不记得它，但我会尽力重现它：

杰克从数字线上的0开始，向任一方向跳跃一个单位。他所做的每次连续跳跃都比之前的1个单位长，并且可以在任一方向上进行。编写一个带有数字的程序，并返回Jack为达到该数字而进行的最小跳跃次数。

如果这不是一个好问题，或者标题被认为具有误导性，我会事先道歉。

Answer 1

对于任意数量的跳跃，人们可以轻松计算出千斤顶可以行进的最大正距离。翻转正跳跃的极性总计任何特定值 k 将导致千斤顶比其他情况下的最低2k计数结束。对于任何最大距离 t ，以及相同奇偶校验的任何非负 n （即使 t 是偶数;如果 t则为奇数是奇数）小于或等于该距离，可以找到总计 n 的跳跃组合。因此，人们不必担心树木，背包或任何其他类似的东西 - 只是一些跳跃是否足够，以及它是否会产生正确的“奇偶校验”。

Answer 2

我想详细说明@ supercat的正确和快速解决方案，并描述一种算法，除了计算这样一个总和的长度外，还计算最小长度和。

算法

找到最小整数k，使得t_k：= 1 + 2 + 3 + ... + k＆gt; = | n |和t_k具有与| n |相同的奇偶校验。然后以系统的方式将t_k的加号的符号翻转为总n。

以下是详细信息。注意t_k = k（k + 1）/ 2，三角形数。设置t_k = | n |并且求解k给出（-1 + sqrt（1 + 8 | n |））/ 2的上限。所以k等于上限或1或2加上它，这三个数字中的哪一个具有与n相同的奇偶性并且是最小的。这里我们使用的事实是，对于任何正整数t，s，三个连续三角数的集合{t，t + s，t + s +（s + 1）}包含偶数和奇数。（只需检查t和s的所有四种奇偶校验可能性。）

要找到n的最小长度和，首先计算d：=（t_k - n）/ 2。因为t_k＆gt; = | n |并且t_k和n具有相同的奇偶校验，d位于集合{0,1,2，...，t_k}中。现在重复减去：d = a_k（k）+ r_k，r_k = a_ {k-1}（k-1）+ r_ {k-1}，...，r_2 = a_1（1）+ r_1，选择每个a_i最大值为{0,1}。通过下面的引理，r_1 = 0。所以d = sum_ {i = 1} ^ k a_i i。因此，n = t_k-2d = sum_ {i = 1} ^ ki - sum_ {i = 1} ^ k 2a_i i = sum_ {i = 1} ^ k（1 - 2a_i）i和1 - 2a_i位于{-1 ，1}。所以序列b_i：= 1 - 2a_i是一条路径，并且通过k的最小值，b_i是一条最小路径。

算法示例

考虑目标数n = 12。根据算法3，k的可能性是5,6或7.对应的t_k值是15,21和28.由于28是具有与n相同奇偶性的最小值，我们看到k = 7 。所以d =（t_k - n）/ 2 = 8，我们根据算法写成1 + 7。因此，到12的最短路径是-1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6-7。

我说一个最短路径，因为最短路径通常不是唯一的。例如，1 + 2 -3 + 4 - 5 + 6 + 7也有效。

算法正确性

引理：让A_k = {0,1,2，...，t_k}。然后一个数字位于A_k中，当且仅当它可以表示为{0,1}中的某个序列a_i的和sum_ {i = 1} ^ k a_i i。

证明：通过感应k。首先，0 = sum_ {i = 1} ^ 0 1，空和。现在假设结果适用于所有k-1> = 0并且假设数字d位于A_k中。重复减去：d = a_k（k）+ r_k，r_k = a_ {k-1}（k-1）+ r_ {k-1}，...，在{0,1中最大选择每个a_i = 0或1并且当第一个r_j位于A_j中时停止某些j＆lt; ķ。然后通过归纳假设，对于{0,1}中的一些b_i，r_j = sum_ {i = 0} ^ j b_i i。然后根据需要d = r_j + sum_ {i = j + 1} ^ k a_k i。相反，对于{0,1}中的a_i，和s s = = sum_ {i = 1} ^ k a_i i满足0 <= s＆lt; = sum_ {i} ^ k i = t_k，因此s位于A_k中。

算法时间复杂度

假设算术运算是恒定时间，从n计算k需要O（1）时间，因此从n计算最小路径的长度。然后花费O（k）时间来找到d的最小长度和，然后花费O（k）时间来使用该和来产生n的最小长度和。所以O（k）= O（sqrt（n））时间全部。

Answer 3

n 连续整数之和的公式为n(n+1)/2。例如1+2+3+4=10 = 4*5/2=10。这是达到目标号码所需的最小步骤数。但可能会出现过冲。假设目标是11。四次跳转会让您10（我们只计算了这一点），但5会将您带到5*6/2=15。现在我们只注意到在11的情况下，当步长为2时我们会跳回来，并且我们正确地到达11。我们稍后会更详细地处理过冲。回到如何计算跳跃的数量。我们的公式为n(n+1)/2 = x，其中x是目标数字。 quadratic equation告诉我们解决方法是

(-1+/-sqrt(-1+8x)))/2

或

(-1-/+(sqrt(9x))/2

否定的“版本”将始终产生一个虚数，这与此无关，所以我们有

(sqrt(9x) + 1)/2

取这个数字的上限，你需要初始跳跃次数。

过冲有点复杂。在我们的到达11示例中，过冲为4（15-11=4），因此我们只需将+2跳转到-2跳转，这就是“隐藏”4超调的地方。但是，事情并非总是如此简单：12可以通过-1-2+3+4-5+6+7与7联系：它需要5个步骤，而不是预测的12。基本观察是过冲必须甚至，否则不会出现过冲/ 2步。以下是我们如何找到5

的步数

使用上述算法，我们发现最小步数为15，这使我们进入3
计算过冲：我们有5。
如果过冲是奇数（在这种情况下），请尝试下一个步骤并返回步骤2，直到找到均匀过冲。这是您的步骤数

因此，对于12，我们尝试15步骤，产生3并超过21。然后我们尝试六个步骤，产生9和7的过冲。最后，我们尝试28步骤，产生16并超越{{1}}。这是我们的最小步骤数。但是，这可以通过公式来计算。

Answer 4

您可以将Jack的进度建模为二叉树，其中左侧节点表示向后跳跃，右侧节点表示向前跳跃。

每个节点的值是杰克的当前位置。

节点的深度与当前的跳跃长度相对应。

编辑 - 您无法修剪与树中较高节点具有相同值的节点，因为其子节点的值将不同，因为它的深度不同。

<击> 为了防止搜索空间过快增长，您需要积极地修剪任何值为前一节点重复的节点。

此外，可以修剪根下面的整个左子树，因为所有值都是右子树中相应值的否定。例如：

右子树： 0 + 1 + 2 + 3 - 4 = 2

左子树中的镜像： 0 - 1 - 2 - 3 + 4 = -2

幸运的是，树似乎会产生大量重复。例如，在深度= 7时，而不是32个节点（64/2，因为我们只处理正确的子树），似乎只有6个不同的节点：

4 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 - 7 14 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - 7 16 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 6 + 7 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 20 = 0 + 1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 28 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

~~32种可能组合中的所有其余组合似乎都是已经在树上方的正数，或者是镜像左侧子树的负数。~~

~~所以我会先进行广度搜索，直到找到我要找的号码。~~

Answer 5

问题如下：

找出最小的k，其中第一个k正自然的总和使得$ k（k + 1）/ 2 = a + b $，其中$ n = a - b $

我们有一个方程组：

k(k+1)/2 = a + b
n = a - b
a, b, k是正整数

有三个未知数，只有两个方程。我们可以结合起来得到满足的目标方程：

k（k + 1）+ 2n = 4a

我们需要找到最小的正k，这样就可以满足给定整数n的解，因为a必须是一个正整数。让我们注意一些事情：

如果n为偶数，则k或k+1必须可被4整除;即，k = 0 or 3 mod 4。
如果n为奇数，那么k和k+1都不能被4整除;即，k = 1 or 2 mod 4。

这将处理有关所有整数数字的部分。要处理关于k和a为正面的部分，我们需要规定

k >= floor(sqrt(2n))

呼。现在，举个例子：

说n = 7.然后我们知道k和k+1都不能被4整除。同样，我们知道k >= 4。我们可能会立即跳过k = 4，因为我们知道k不能被4整除。我们可能会尝试k = 5;我们进入我们的系统：

n = 7
k = 5
a = 11
b = 4

这些数字都有效，所以我们有一个有效的解决方案。我们选择解决方案的方式是首先必须找到最小k的解决方案。如果你关心，你甚至可以重建杰克使用的跳跃序列。在这种情况下，很容易：杰克向右跳11，向左跳4。向左跳4的唯一方法是向左跳1和向左跳3。所以杰克跳得如下：

----------J------N---
---------J-------N--- -1
-----------J-----N--- +2
--------J--------N--- -3
------------J----N--- +4
-----------------J--- +5

但是，对于您的问题，一旦找到有效的k，您就完成了。在找到有效值之前，您不需要尝试k的许多值。

Answer 6

我们正在寻找所需数量j，以便从1到j的总和大于目标数和相同的奇偶校验。

这是python 2.7中的一个简单的工作代码：

def numberOfJumps(n):
    n = abs(n)
    j = 0
    while True:
        s = j*(j+1)/2
        if s >= n and not (s - n)%2:
            break
        j += 1
    return j

for i in range(10):
    print i, numberOfJumps(i)

问题可以简化为正数，因为-n和n需要相同数量的跳转。我们只需要为序列中的每个数字向相反方向跳跃。

然后，为了达到n，我们必须确保只有正跳跃的总和达到n或更多。

我们还必须确保总和的奇偶校验与目标数相同，因为向负方向跳跃会在总和上产生均匀差异，因此不会改变其奇偶校验。

假设你跳1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，反转序列中的任何数字组合产生一个奇数，所以差值是偶数。

决定'跳跃杰克'的算法

6 个答案:

算法

算法示例

算法正确性

算法时间复杂度