根据给定大小的非循环路径计算不同的矩形网格迷宫

Question

我试图解决以下问题：

  

mn迷宫是一个mn矩形网格，其中墙壁放置在网格单元格之间，因此从左上角的正方形到任何其他正方形只有一条路径。   以下是912迷宫和1520迷宫的例子：

     

     

设C（m，n）是不同mn迷宫的数量。可以通过旋转和来自另一个迷宫的反射形成的迷宫被认为是不同的。

     

可以证实C（1,1）= 1，C（2,2）= 4，C（3,4）= 2415，C（9,12）= 2.5720e46（用科学计数法舍入）到5位有效数字）。
  找C（100,500）

现在，有一个明确的公式可以给出正确的结果，并且它是完全可计算的。但是，据我所知，Project Euler问题的解决方案应该更像是聪明的算法，而不是明确的公式计算。试图将解决方案表示为递归，我只能到达一个线性系统，其中变量的数量随着迷宫的大小呈指数增长（更确切地说，如果有人试图为mxn迷宫的数量写一个递归，其中m保持固定，一个到达线性系统，使得其变量的数量随m呈指数增长：其中一个变量是具有问题380的声明中给出的属性的mxn迷宫的数量，而其他变量是mxn迷宫的数量。在某些特定的配置中，不止一个连接的组件接触到迷宫的边界 - 并且这些配置的数量似乎随着m呈指数增长。所以，虽然这种方法是可行的m = 2,3,4等，它似乎不适用于m = 100）。

我还想把问题减少到可以更容易解决的子问题， 然后在构建更大的子问题解决方案时重用子问题解决方案（动态编程方法），但在这里我偶然发现子问题似乎涉及不规则形状的迷宫，同样，这种迷宫的数量在m，n中呈指数关系。

如果有人知道一种可行的方法（m = 100，n = 500），除了使用显式公式或一些特殊定理，并且可以暗示在哪里看，对我来说这将是非常有趣的。

Answer 1

这基本上是一个spanning tree计数问题。具体来说，它是计算网格图中生成树的数量。

在网格图中计算生成树

来自维基百科条目的“计算生成树”部分：

  

连接图的生成树的数量t（G）是a   充分研究的不变量。在某些情况下，很容易计算t（G）   直。例如，如果G本身就是一棵树，则t（G）= 1，而如果G   是具有n个顶点的循环图C_n，然后是t（G）= n。对于任何图G，   数字t（G）可以使用Kirchhoff's matrix-tree theorem ...

计算

相关算法

以下是一些与计算网格图中生成树数量相关的文章或帖子：

• “Counting Spanning Trees in Grid Graphs”，Melissa Desjarlais和Robert Molina 2012年8月17日，阿尔玛学院数学与计算机科学系？ （发布日期不确定）
• “Counting the number of spanning trees in a graph - A spectral approach”，来自大学。 CMSC858W马里兰州课堂笔记：生物序列分析算法， 2010年4月29日
• “Automatic Generation of Generating Functions for Counting the Number of Spanning Trees for Grid Graphs (and more general creatures) of Fixed (but arbitrary!) Width”，Shalosh B. Ekhad和Doron Zeilberger

后者由Ekhad和Zeilberger提供以下内容，其答案与手头的问题相符：

  

如果你想看到显式表达式（作为z中的有理函数）   对于其Maclaurin中zn系数的正式幂级数   扩展（相对于z）会给你跨越的数量   m由n网格图组成的树（m的路径的笛卡尔积   顶点和长度为n）的路径，对于m = 2到m = 6，input   给出output。

具体来说，请参阅output。

旁注：如果没有提供的解决方案值，则有效的解释可能是迷宫的外部结构很重要。在这种情况下，具有相同路径的两个或更多个迷宫将是不同且不同的，因为在拐角处可以有3个用于进入和退出迷宫的选项，其中左上角将在顶部打开，左上角在左侧打开，或在左侧和顶部打开，类似的角落出口。如果试图将这些迷宫可能性表示为树，则两个节点可以在进入时收敛而不是仅仅从开始到结束发散，并且将存在一个或多个用于退出可能性的附加节点。这会增加C（m，n）的值。

Answer 2

这里的见解来自问题（强调我的）

  

A ..迷宫是一个矩形网格，墙壁放置在网格单元格之间，因此从左上角正方形到任何其他正方形只有一条路径。

如果你想到迷宫的双重性，即人们可以占据的空间，很明显迷宫必须形成一个图形。不仅仅是任何图形，因为有一个单一路径，图形不能包含任何使其成为tree的周期。这种对组合学问题的减少表明了一种算法。根据欧拉计划的精神，其余部分留给读者练习。

Answer 3

SPOILER AHEAD

我错了，在其中一条评论中说：“现在，关于在图表中生成树的概率有一个通用定理，但它似乎没有给出计算可行的方法来计算所寻求的数量”。作为矩阵树定理的“一般定理”归因于基尔霍夫，并且在这里的答案之一中提到，其结果不仅作为拉普拉斯图的非零特征值除以图的阶数的乘积。 ，但也作为拉普拉斯算子的任何辅助因子的绝对值，在这种情况下，它是49999x49999矩阵的行列式的绝对值。但是，尽管矩阵非常稀疏，但它仍然让我无法接触。

然而，参考

http://arxiv.org/pdf/0712.0681.pdf

（“块三对角矩阵的决定因素”，作者：Luca Guido Molinari）， 允许将问题减少到评估整数100x100密集矩阵的行列式，并以非常大的整数作为条目。

此外，参考

http://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf

由Erwin H. Bareiss（通常只谈到“Bareiss算法”，但我使用的递归和参考文献中的公式（8）似乎是由于Charles Dodgson，又名Lewis Carroll :)），然后让我评估这个最后的决定因素，从而得到原始问题的答案。

Answer 4

我想说找到一个明确的公式是解决欧拉问题的正确方法。它会很快，可以缩放。只是去吧:)。