Question

假设一个四面体的四个顶点中的一个位于原点，另外三个位于矢量 u ， v 和 w 的末尾>。如果已知矢量 u 和 v ，并且 u 和 v 之间的角度， v 和 w ， w 和 u 也是众所周知的，似乎有 w ：通过围绕 u 轴旋转 u 和 w 角度的矢量并通过旋转矢量形成的两个锥体的交点关于 v 轴的 v 和 w 角度。

虽然我在几天内无法提出封闭式解决方案，但我希望这是因为我缺乏3D几何体验，而且经验丰富的人可能会提出有用的建议。

Answer 1

我遇到了同样的问题，发现MBo的答案非常有用。但我想我们可以多说一点 w 的值，因为我们可以自由选择要使用的坐标系。特别是，如果我们选择x轴在 u 的方向，以及包含向量 v 的xy平面，然后MBo的方程组变为：

   wx         = cos(uw)
vx*wx + vy*wy = cos(vw)
||w||         = 1

这个坐标系给出了

vx = cos(uv), vy = sin(uv)

所以我们立即得到了

                                                   _____________________
    (           cos(vw) - cos(uv) * cos(uw)    +  /        2              )
w = ( cos(uw), ----------------------------- , - /  1 - cos (uw) - wy*wy  )
    (                     sin(uv)              \/                         )

平方根上的+ - 给出了两种可能的解决方案，当然除非1 - cos^2(uw) - wy^2 <= 0。除sin(uv)之外的除法也突出显示退缩的情况，当 u 和 v 线性相关时（指向同一方向）。

我们可以做的另一项检查是，如果向量u和v是正交的，那么就知道wy = cos(vw)（见https://math.stackexchange.com/questions/726782/find-a-3d-vector-given-the-angles-of-the-axes-and-a-magnitude）。这不属于上面的表达式（因为cos(uv) = 0和sin(uv) = 1）。

Answer 2

没有足够的数据来计算顶点w位置。但是有可能找到单位向量 w （如果存在）。只需使用标量积属性并求解方程组（我使用（vx，vy，vz）作为单位（标准化）向量的组件 v ）

vx*wx+vy*wy+vz*wz=Cos(v,w angle)
ux*wx+uy*wy+uz*wz=Cos(u,w angle)
wx^2+wy^2+wz^2=1  //unit vector

这个系统可以给我们：没有解决方案（锥体不重叠）;一个解决方案（锥体触摸）;两种解决方案（两条光线作为锥体的表面交叉点）

给定3个顶点中的2个定义四面体并且它们之间的所有3个角度，找到第3个顶点

2 个答案: