Question

想象一下，我有一个比monad更通用的值：

m :: (Monad m) => m A  -- 'A' is some concrete type

现在让我们说我将这个值专门化为一个具体的monad变换器堆栈，有两种不同的方式：

m1 :: T M A
m1 = m

m2 :: T M A
m2 = lift m

...其中M和T M是monad，T是monad变换器：

instance Monad M where ...
instance (Monad m) => Monad (T m) where ...
instance MonadTrans T where ...

......这些实例遵守monad法律和monad变压器法则。

我们可以推断出：

m1 = m2

......对m以外的其他类型一无所知？

这只是一个冗长的方式，询问lift m是m的有效替代，假设两种类型检查。短语问题有点困难，因为它需要m类型检查作为替换之前和之后的两个单独的monad。据我所知，这种替换进行类型检查的唯一方法是m是否对于monad是通用的。

我模糊的直觉是替换应该总是正确的，但我不确定我的直觉是否正确，或者如果它是正确的，如何证明它。

Answer 1

如果m :: Monad m => m A，那么m必须与某些return x的{{1}}等效，因为x :: A获取任何内容的唯一方法是{{} 1}}和:: m x。但是，为了使用return，您必须能够生成一些(>>=)，您可以使用(>>=)或使用m y的其他应用程序。无论哪种方式，你最终都必须使用return，monad法则保证整个表达式等同于(>>=)。

（如果return对monad完全是多态的，那么你必须能够在return x使用它，所以它不能使用任何花哨的monad技巧，除非你传递一个参数。使用了一些技巧，例如here和here。）

鉴于m，我们通过monad变换器法则（m ~ Identity）知道m = return x。

当然，这只适用于这种特殊类型。如果您有lift . return = return，那么lift m = m可能很容易与m :: MonadState S m => m A不同 - 例如，类型为m，lift m和{ {1}}会有所不同。

（当然所有这些都忽略了⊥。然后，如果你不这样做，大多数monad都不遵守法律。）

Answer 2

我认为这是一个草率inductive proof，m相当于lift m。

我认为我们必须尝试证明m（或者更确切地说，关于类型(Monad m) => m A的所有可能值）。如果我们将Monad视为仅包含绑定和返回，并忽略底部和fail，那么您的m必须位于顶层：

mA = return (x)
mB = (mX >>= f)

对于mA，两种形式的m等同于monad变换器定律：

lift (return (x)) = return (x)

这是基本情况。然后我们留下第二个变压器定律来推理mB：

lift (mX >>= f) = lift mX >>= (lift . f)

我们想要证明我们的mB等于那个扩展：

mX >>= f = lift mX >>= (lift . f)

我们假设bind的左侧是等价的（mX = lift mX），因为这是我们的归纳假设（对吧？）。

那么我们就可以通过弄清楚f = lift . f的样子来证明f：

f :: a -> m b
f = \a -> (one of our forms mA or mB)

和lift . f看起来像：

f = \a -> lift (one of our forms mA or mB)

这让我们回到了我们的假设：

m = lift m

隐含提升的正确性

2 个答案: