用圆圈近似多边形

Question

嗯，近似一个带有多边形的圆圈和毕达哥拉斯的故事可能是众所周知的。 但另一种方式呢？

我有一些多边形，实际上应该是圆圈。但是，由于测量误差，它们不是。所以，我正在寻找的是最能“近似”给定多边形的圆。

在下图中，我们可以看到两个不同的例子。

我的第一个Ansatz是找到点到中心的最大距离以及最小值。我们正在寻找的圈子可能介于两者之间。

这个问题有没有算法？

Answer 1

我会使用scipy来最好地“适应”我的观点。您可以通过简单的质心计算得到中心和半径的起​​点。如果点均匀分布在圆上，则这很有效。如果它们不是，如下例所示，它仍然比没有好！

拟合功能很简单，因为圆圈很简单。您只需找到从拟合圆到点的径向距离，因为切线（径向）曲面始终是最佳拟合。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist
from scipy.optimize import fmin
import scipy

# Draw a fuzzy circle to test
N = 15
THETA = np.random.random(15)*2*np.pi
R     = 1.5 + (.1*np.random.random(15) - .05)
X = R*np.cos(THETA) + 5
Y = R*np.sin(THETA) - 2

# Choose the inital center of fit circle as the CM
xm = X.mean()
ym = Y.mean()

# Choose the inital radius as the average distance to the CM
cm = np.array([xm,ym]).reshape(1,2)
rm = cdist(cm, np.array([X,Y]).T).mean()

# Best fit a circle to these points
def err((w,v,r)):
    pts = [np.linalg.norm([x-w,y-v])-r for x,y in zip(X,Y)]
    return (np.array(pts)**2).sum()

xf,yf,rf = scipy.optimize.fmin(err,[xm,ym,rm])  

# Viszualize the results
import pylab as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

# Show the inital guess circle
circ = plt.Circle((xm, ym), radius=rm, color='y',lw=2,alpha=.5)
ax.add_patch(circ)

# Show the fit circle
circ = plt.Circle((xf, yf), radius=rf, color='b',lw=2,alpha=.5)
ax.add_patch(circ)

plt.axis('equal')
plt.scatter(X,Y)
plt.show()

Answer 2

也许一个简单的算法首先要计算点的质心（假设它们通常大致有规律地间隔）。这是圆心。一旦你有了，你可以计算点的平均半径，给出圆的半径。

更复杂的答案可能是进行简单的最小化，最小化点到圆的边缘的距离之和（或距离的平方）。

Answer 3

有两种不同的O（n）算法可用于确定您绘制的最小圆圈，其中包含维基百科页面smallest-circle problem上的一系列点。从这里绘制第二个圆圈应该相当容易，只需确定您之前找到的圆的中心，并找到最接近该点的点。第二个圆的半径是。

这可能不是你想要的，但这就是我的开始。

Answer 4

该问题可能与Smallest-circle problem相同。

但是，由于您的测量误差可能包括异常值，因此RANSAC是一个不错的选择。有关该方法的概述（以及其他基本技术），请参阅http://cs.gmu.edu/~kosecka/cs482/lect-fitting.pdf，在http://www.asl.ethz.ch/education/master/info-process-rob/Hough-Ransac.pdf中有更多专门用于圆拟合的信息。

Answer 5

很容易找到一些近似值：

def find_circle_deterministically(x,y):
    center = x.mean(), y.mean()
    radius = np.sqrt((x-center[0])**2 + (y-center[1])**2).mean()
    return center, radius

解释：将圆心置于平均值x和平均值y。然后，对于每个点，确定到中心的距离并取所有点的平均值。那是你的半径。

这个完整的脚本：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n_points = 10
radius = 4
noise_std = 0.3

angles = np.linspace(0,2*np.pi,n_points,False)
x = np.cos(angles) * radius
y = np.sin(angles) * radius
x += np.random.normal(0,noise_std,x.shape)
y += np.random.normal(0,noise_std,y.shape)

plt.axes(aspect="equal")
plt.plot(x,y,"bx")

def find_circle_deterministically(x,y):
    center = x.mean(), y.mean()
    radius = np.sqrt((x-center[0])**2 + (y-center[1])**2).mean()
    return center, radius

center, radius2 = find_circle_deterministically(x,y)
angles2 = np.linspace(0,2*np.pi,100,True)
x2 = center[0] + np.cos(angles2) * radius2
y2 = center[1] + np.sin(angles2) * radius2
plt.plot(x2,y2,"r-")

plt.show()

产生这个情节：

这样可以正常工作，因为您的多边形有测量误差。如果您的点在角度[0,2pi[上的分布不均匀，则表现不佳。

更一般地说，您可以使用优化。