在Matlab中对多边形进行双重积分

Question

我给了一个函数@f（x，y），我想在MATLAB中评估这个函数在某个凸多边形上的积分。多边形不一定是矩形，这就是为什么我不能使用MATLAB的函数“dblquad”。我所具有的多边形由一组由矢量X和Y表示的顶点给出，即顶点是（X（1），Y（1）），......，（X（n），Y（n）） ）。我可以使用任何功能或方法吗？

Answer 1

诀窍是使用工具整合到感兴趣的区域内。我已经编写了一些用于在三角域中集成的工具。

% Define a function to integrate.
% This function takes an nx2 array, where each row
% contains a single point to evaluate the kernel at.
% This computes x^2 + y^2 at each point.
fun = @(xy) sum(xy.^2,2);

% define the domain as a triangulated polygon
% this tool uses ear clipping to do so.
sc = poly2tri([1 4 3 1],[1 3 5 4]);

% Gauss-Legendre integration over the 2-d domain
[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,2)
integ =
       113.166666666667
fev =
     8

% the triangulated polygon...
plotsc(sc,'facecolor','none','markerfacecolor','r')
axis equal
grid on

我们可以将函数本身可视化，作为该多边形域上的映射z（x，y）。当提供范围字段时，单纯复形变为从2-d（x，y）域开始的2-1映射。

sc2 = refinesc(sc,'max',.5);
sc2.range = fun(sc2.domain);
plotsc(sc2,'markerfacecolor','r')
grid on
view(17,12)

这是一个关注域的简单多项式函数，因此默认的低阶高斯积分就足够了。所使用的方案是高斯 - 勒让德（Gauss-Legendre），在三角形上的张量积形式，不是真正最优的，但是可行的。高斯求积法的问题是它不是自适应的。它基于有限点上的多项式的隐式近似来计算估计值。

上述估计使用8个函数证据来计算该估计值。由于内核是低阶多项式，它应该完美。问题是，您需要知道它是否是正确的解决方案。这是高斯求积法的问题，没有简单的方法来知道答案是否正确，除了用更高阶的方案解决问题，直到它似乎收敛。

看到在重心处每个三角形有1个点，我们得到了错误的答案，但是更高阶的估计都是一致的。

[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,1)
integ =
       107.777777777778
fev =
     2

[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,3)
integ =
       113.166666666667

fev =
    18

[integ,fev]= quadgsc(fun,sc,4)
integ =
       113.166666666667
fev =
    32

编写quadgsc后，我不得不尝试一种自适应求解器，其工作方式与MATLAB中其他四合一工具的工作方式相同。这对三角测量进行了自适应细化，寻找解决方案不稳定的三角形。问题是，我从来没有写完这些工具让我满意。对于三角形域上的立方体问题，可以采用许多不同的方法。 quadrsc执行低阶解，然后对其进行精炼，使用Richardson外推，然后比较结果。对于差异太大的任何三角形，它会进一步细化它们直到它收敛。

例如，

[integ,fev]= quadrsc(fun,sc)
integ =
          113.166666666667

fev =
    16

所以这很有效。问题出现在更复杂的内核上，问题变得知道何时停止细化，并且在用完了太多功能评估之前这样做。我从来没有完全满意地工作，所以我从来没有发布过这些工具。我可以将工具箱发送给直接发送给我的人。 zip文件大约是2.4 MB。有一天，我希望能够完成这些工具，我希望......