Question

该块是：

    i=2  
    while(i<n){  
        i=i*i;  
        x=x+1;  
    }

我需要找到x = x + 1执行次数的θ表示法。我创建了一个包含一些示例值的表，但我无法弄清楚如何从那里继续前进。以下是我的示例值：

(n) - (# times looped)  
  3 - 1  
  5 - 2  
 20 - 3  
400 - 4

Answer 1

考虑这个问题的一种方法是在循环中追踪i的值。在第一次迭代之前，值为2 = 2 ¹。在第二次迭代之后，它是4 = 2 ²。在第三次迭代之后，它是16 = 2 ⁴。在第四次迭代之后，它是256 = 2 ⁸。在第五个之后，它是65,536 = 2 ¹⁶。

如您所见，在循环的k次迭代之后，i的值为2 ^{2 ^k}。这意味着迭代次数将（大致）对应于k的最低值，使得

2 ^{2 ^k}≥n

取两边的对数，我们得到

2 ^{2 ^k}≥n

2 ^k≥log₂ n

k≥log₂ log ₂ n

因此循环迭代次数大致为log ₂ log ₂ n。因此，循环运行O（log log n）次。更确切地说，循环运行Θ（log log n）次，因为循环不会停止，直到k迭代结束。

希望这有帮助！