Question

我有c = Ax + By类型的等式，其中c，x和y是尺寸为50,000 X 1的矢量，A和{ {1}}是尺寸为50,000 X 50,000的矩阵。

当B，A和B已知时，Matlab中是否有任何方法可以找到矩阵c和x？

我有大约100,000个y，c和x的样本。 y和A对所有人保持不变。

Answer 1

让X成为您获得的所有100,000 x的集合（这样i的{{1}}列等于X - 向量）。
我们也可以将x_i和Y分别定义为C和y的2D集合。

您希望解决的问题是c和A

您有2 * 50,000 ^ 2个未知数（C = AX + BY和A）和B等式的所有条目。

因此，如果您拥有的数据向量数量为100,000，则您只有一个解决方案（最多取决于线性相关的样本）。如果您有超过100,000个样本，您可以寻求最小二乘解。

重新写作：

numel(C)

所以，我想

C = [A B] * [X ; Y]  ==>  [X' Y'] * [A';B'] = C'

在matlab中：

[A' ; B'] = pinv( [X' Y'] ) * C'

如果我错了，请纠正我......

修改
这里似乎有很大的维度。所以，我会尽量让它变得清晰。

型号：有两个（未知）矩阵ABt = pinv( [X' Y'] ) * C'; A = ABt(1:50000,:)'; B = ABt(50001:end,:)';和A，每个矩阵大小为50,000x50,000（总共5e9个未知数）。
观察是向量的三元组 :( B，x，y）每个这样的向量有50,000个元素（总共150,000个观察点每个样本）。基本模型假设是在此模型中由c生成观察 任务：给出c = Ax + By观察结果（向量的n三元组 {（n，x_i，{ {1}}）} _ y_i）任务是揭开c_i和i=1..n。

现在，每个样本（A，B，x_i）在未知y_i和{{1}中诱导了c_i形式的50,000个等式}。如果样本数量c_i = Ax_i + By_i 更大超过100,000，那么有超过50,000 * 100,000（＆gt; 5e9）个等式，系统过度约束。

为了以矩阵形式编写系统，我建议将所有观察结果堆叠到矩阵中：

矩阵A，其大小为50,000 x B，其n列等于观察到的X

矩阵n，其大小为50,000 x i，其x_i列等于观察到的Y

矩阵n，其大小为50,000 x i，其y_i列等于观察到的C

使用这些矩阵，我们可以将模型编写为：

C = A * X + B * Y

我希望这可以解决一些问题。

感谢@Dan和@woodchips的兴趣和启发性评论。

编辑（2）：
将以下代码提交给octave。在此示例中，我只使用了2个而不是n次观察而不是i来确定c_i

n=100,000

检查地面实况模型（n=100和n = 100; A = rand(2,2); B = rand(2,2); X = rand(2,n); Y = rand(2,n); C = A*X + B*Y + .001*randn(size(X)); % adding noise to observations ABt = pinv( [ X' Y'] ) * C';）之间的差异并恢复A：

B

产量

ABt

足够接近于零。（记住，观察结果是嘈杂的，解决方案是最小二乘的。）

在matlab中求解矩阵方程

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