Question

我试图用最小二乘方式求解线性方程组。使用犰狳及其求解函数我想计算抛物线拟合的三个系数。

vec coeffs = solve(CtC, Ctb)

CtC =

1.0e+009 *       
+--------------------------------+
|     2.0878    0.0221    0.0002 |
|     0.0221    0.0002    0.0000 |
|     0.0002    0.0000    0.0000 |
+--------------------------------+

和Ctb =

+------------+
|    -0.6163 |
|    -0.0065 |
|    -0.0001 |
+------------+

显然，解决（）无法解决它，即使是Matlab警告：

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.
RCOND = 1.303968e-022.

犰狳或c ++中是否有任何变通方法或更强大/更复杂的方法？感谢

Answer 1

您无法使用行列式等于零来反转矩阵。在你的情况下，行列式等于-8e-12，它实际上不等于零但是给出了反矩阵（使用R）

1.0e-009 *
              [,1]          [,2]    [,3]
[1,] -3.815763e-16  6.806617e-14    5000
[2,]  5.111864e-14  5.000000e+03 -552500
[3,]  5.000000e+03 -5.525000e+05 8856250

请注意，此逆矩阵具有非常大和非常小的数字。这解释了你对“接近单数”和“严重缩放”的警告。根据底层浮点库，您可能会遇到非常糟糕的舍入错误。

您可以返回到您的应用程序，看看是否有任何表示列或行的变量彼此相差很多个数量级。如果是这样，你可以重新调整它们。例如。如果他们之间有一百万的因子，并且它们代表长度，则用公里表示一个，用毫米表示另一个。

Answer 2

您面临的问题是矩阵的condition number非常高，由于舍入错误，这可能会使您的结果变得毫无意义。

正如rhalbersma所提出的，您可以尝试更好地扩展不同的条目以减少此问题。如果您没有这样的解决方案，那么您必须使用preconditioner。有很多（有些非常复杂），所以你应该找到一个适合你的问题。

然而，对于你手边的这个特殊系统，我只需要反转方程（1）和（3），这将产生一个较低的三角形系统，这对于Matlab来说很容易解决（不需要迭代方法）这可能对条件数非常敏感。在你的情况下，由于矩阵是对称的，Matlab可能会尝试使用cg来解决它，这是一种迭代方法）。

顺便说一句，你的问题是否已知产生接近奇异的矩阵？如果没有，我会在组装矩阵之前检查问题（或错误）（由于舍入错误，矩阵可能是非奇异的）。

编辑：在我的matlab 2009上，我在尝试解决此系统时没有收到任何警告（使用\命令）。但是，如果我尝试使用命令pcg，我会得到它们！

当针对奇异矩阵时，solve（）崩溃

2 个答案: