Question

首先很抱歉提出这样一个基本问题。

但是我很难理解用于解决复发的替代方法。我正在关注Algo.s-CLRS简介。由于我无法找到足够的例子和模糊性是主要关注点。尤其是归纳步骤。在教科书中我们必须证明f（n）意味着f（n + 1）但在CLRS中这一步骤缺失或可能是我没有得到这个例子。请逐步解释如何证明O（n ^ 2）是递归函数的解T（n）= T（n-1）+ n

它是我想要理解的替换方法的一般步骤。如果你能够对强大的数学归纳有所了解，并提供关于替代方法的材料的链接，这也将是有帮助的。

Answer 1

在替换方法中，只需将T(k)的任何出现替换为T(k-1) + k，然后迭代执行。

T(n) = T(n-1) + n = 
= (T(n-2) + (n-1)) + n = 
= T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n = 
= ...  =
= 1 + 2 + ... + n-1 +  n

从sum of arithmetic progression，你可以得到T（n）在O(n^2)。

请注意，替换方法通常用于直观了解复杂性，正式证明它 - 您可能需要一个不同的工具 - 例如mathematical induction。

正式的证据就是这样的：

Claim: T(n) <= n^2
Base: T(1) = 1 <= 1^2
Hypothesis: the claim is true for each `k < n` for some `n`.
T(n) = T(n-1) + n <= (hypothesis) (n-1)^2 + n = n^2-2n + 1 < n^2 (for n > 1)

解决复发的替代方法

1 个答案: