Question

我正在开发一个应用程序，用于解决涉及圆和线（Constructable Numbers）的二维欧几里德几何中的二次约束，并以图形方式表示结果。我发现this paper在二叉树中表示这些问题，但我遇到了一个实现问题：

我需要比较a + b*sqrt(c)形式的数字，以获得小于，大于和相等的标准关系运算。我的应用的c值仅限于2，3，5，6，10，15，或30。例如（类似C的伪代码，^是“对于运算符的幂”：

boolean CompareConstructibleNumbers(int a1, b1, c1, a2, b2, c2)
{
    return a1plusb1sqrtc1_is_greater_than_a2plusb2sqrtc2 = 
        4 * ((a1 - a2)^2) * (b1^2) * c1
          > ((b2^2) * c2 - (b1^2) * c1 - (a1 - a2)^2)^2;
        // Not sure if I have the direction right for >
}

这个天真的实现要求我多次乘法，所以32位整数变成64位整数，然后变成128位等等。我不想在我的实现中使用自定义BigInteger来存储临时值仅用于比较。

我也不想使用浮点数，并希望避免在尝试直接计算sqrt(c)作为浮点数时出现舍入错误的风险。我需要精确计算这个应用程序，不一定是无限精度，但我想避免舍入误差并确保正确的结果。

如何在不需要巨大的中间整数值的情况下比较a + b * sqrt(c)形式的可构造数字？我a和b的初始值在32位范围内。

**** **** UPDATE 谢谢大家的回复。继续追求连续分数的建议，我能够使用Fundamental Recurrence Formulas为平方根生成任意精确的近似值。

我还发现this paper讨论了实数近似乘法与整数定点表示的误差累积。幸运的是，我感兴趣的所有平方根的整数部分最多为6（仅需要3位），因此我有很多位可用于表示近似的小数部分。为了乘以32位整数，我需要Q3.32位的最小定点近似值，以便在乘法后将误差保持为1位。

因此，虽然53位精度double足以为平方根存储足够精确的近似值，但在乘以32位整数后存储结果是不够的，因为这需要最小值精度为67位，以最大限度地减少错误。使用64位整数（比如Q16.48）中的c和32位整数b的定点表示，我打算使用96或128位数的多字算法在没有足够错误的情况下进行比较以甩掉结果。我相信这对于比较仅使用这7个平方根的可构造数字来说足够准确，但我对第二个意见感兴趣。有什么想法吗？

Answer 1

我不认为有一个公式可以让你保持64位以进行精确比较，假设你的值使用完整的32位。我认为问题是a + b * sqrt（c）形式的数字在实数中是密集的（假设c不是正方形），所以你得到非常微妙的比较，需要很多精度。因此，你基本上需要通过平方来消除平方根，这将使用3次乘法。

在这种情况下，BigInt实现实际上并不是那么糟糕，因为您只需要实现乘法，加法，减法和比较。这些可以在很少的代码行中有效地实现。通常情况下，它的划分很难实现。此外，您知道您的数字永远不会溢出带有两个64位单元的数组，因此您实际上不需要跟踪产品中的位数。

编辑：关于Thomas和Nemo对此的评论所建议的双打的使用，实际上很容易通过使用连续分数表示在32 ^ { - 53}的sqrt（2）内找到使用32位整数的近似值

如何比较a + b * sqrt（c）形式的数字，而中间整数越来越大？

1 个答案: