Question

我想以某种方式限制允许构造函数在归纳定义中采用哪种输入。假设我想说如下定义二进制数：

Inductive bin : Type :=
  | O : bin
  | D : bin -> bin
  | S : bin -> bin.

这里的想法是D通过在末尾添加零来使非零数字加倍，并且S将数字作为最后一位数加零，并将最后一位数字变为1。这意味着以下是合法的数字：

S 0
D (S 0)
D (D (S 0))

虽然以下不是：

S (S 0)
D 0

有没有办法以干净的方式在归纳定义中强制执行此类限制？

Answer 1

您可以定义bin对谓词合法的含义，然后为遵守该谓词的bin子集指定名称。然后，您使用Program Definition和Program Fixpoint而不是Definition和Fixpoint编写函数。对于递归函数，您还需要一个度量来证明函数的参数减小，因为函数不再是结构递归的。

Require Import Coq.Program.Program.

Fixpoint Legal (b1 : bin) : Prop :=
  match b1 with
  | O       => True
  | D O     => False
  | D b2    => Legal b2
  | S (S _) => False
  | S b2    => Legal b2
  end.

Definition lbin : Type := {b1 : bin | Legal b1}.

Fixpoint to_un (b1 : bin) : nat :=
  match b1 with
  | O    => 0
  | D b2 => to_un b2 + to_un b2
  | S b2 => Coq.Init.Datatypes.S (to_un b2)
  end.

Program Definition zer (b1 : lbin) := O.

Program Fixpoint succ (b1 : lbin) {measure (to_un b1)} : lbin :=

但是this简单类型的方法可能会更容易。

Answer 2

这可以通过归纳递归定义来完成 - 但遗憾的是Coq不支持这些定义。

从面向对象的编程角度来看，O，D和S是bin的子类型，然后可以定义它们的构造函数类型，而无需求助于逻辑谓词，但Coq本身也不支持面向对象的编程。

然而，Coq确实有类型类。所以我可能做的是使bin成为类型类，并使每个构造函数成为一个单独的归纳类型，每个类型都有一个bin类型类的实例。我不确定类型类的方法是什么。

Coq中受限制的归纳类型定义

2 个答案: