Question

假设我想要拟合具有二次（正交）多项式的线性回归模型，然后预测响应。以下是第一个模型（m1）的代码

x=1:100
y=-2+3*x-5*x^2+rnorm(100)
m1=lm(y~poly(x,2))
prd.1=predict(m1,newdata=data.frame(x=105:110))

现在让我们尝试相同的模型，但不使用$ poly（x，2）$，我会使用它的列，如：

m2=lm(y~poly(x,2)[,1]+poly(x,2)[,2])
prd.2=predict(m2,newdata=data.frame(x=105:110))

让我们看一下m1和m2的摘要。

> summary(m1)

Call:
lm(formula = y ~ poly(x, 2))

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-2.50347 -0.48752 -0.07085  0.53624  2.96516 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -1.677e+04  9.912e-02 -169168   <2e-16 ***
poly(x, 2)1 -1.449e+05  9.912e-01 -146195   <2e-16 ***
poly(x, 2)2 -3.726e+04  9.912e-01  -37588   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.9912 on 97 degrees of freedom
Multiple R-squared:     1,      Adjusted R-squared:     1 
F-statistic: 1.139e+10 on 2 and 97 DF,  p-value: < 2.2e-16 

> summary(m2)

Call:
lm(formula = y ~ poly(x, 2)[, 1] + poly(x, 2)[, 2])

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-2.50347 -0.48752 -0.07085  0.53624  2.96516 

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     -1.677e+04  9.912e-02 -169168   <2e-16 ***
poly(x, 2)[, 1] -1.449e+05  9.912e-01 -146195   <2e-16 ***
poly(x, 2)[, 2] -3.726e+04  9.912e-01  -37588   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.9912 on 97 degrees of freedom
Multiple R-squared:     1,      Adjusted R-squared:     1 
F-statistic: 1.139e+10 on 2 and 97 DF,  p-value: < 2.2e-16

所以m1和m2基本相同。现在让我们看看预测prd.1和prd.2

> prd.1
        1         2         3         4         5         6 
-54811.60 -55863.58 -56925.56 -57997.54 -59079.52 -60171.50 

> prd.2
         1          2          3          4          5          6 
  49505.92   39256.72   16812.28  -17827.42  -64662.35 -123692.53

Q1：为什么prd.2与prd.1显着不同？

Q2：如何使用m2模型获得prd.1？

Answer 1

m1是执行此操作的正确方法。 m2正在进入痛苦的整个世界......

要从m2进行预测，模型需要知道它适合于一组正交基函数，因此它对外推的新数据值使用相同的基函数。比较：poly(1:10,2)[,2]与poly(1:12,2)[,2] - 前十个值不相同。如果您使用poly(x,2)明确地使模型适合，则predict会理解所有这些并做正确的事。

您需要做的是确保使用与创建模型相同的一组基本函数来转换预测位置。您可以使用predict.poly（请注意我调用我的解释变量x1和x2，以便轻松匹配名称）：

px = poly(x,2)
x1 = px[,1]
x2 = px[,2]

m3 = lm(y~x1+x2)

newx = 90:110
pnew = predict(px,newx) # px is the previous poly object, so this calls predict.poly

prd.3 = predict(m3, newdata=data.frame(x1=pnew[,1],x2=pnew[,2]))

多项式回归无意义预测

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