对于无符号长A和B，有没有办法（A * B）mod M没有溢出？

Question

我不想在Windows上安装GMP的噩梦。

我有两个数字A和B，unsigned long long s，最多只有10 ^ 10左右，但即使做((A%M)*(B%M))%M，我也会得到整数溢出。

是否有自制函数用于计算较大数字的(A*B)%M？

Answer 1

如果模数M远小于ULLONG_MAX（如果它在10 ^ 10的范围内就是这种情况），你可以通过分割其中一个因子来分三步完成两部分。我假设A < M和B < M以及M < 2^42。

// split A into to parts
unsigned long long a1 = (A >> 21), a2 = A & ((1ull << 21) - 1);
unsigned long long temp = (a1 * B) % M;   // doesn't overflow under the assumptions
temp = (temp << 21) % M;                  // this neither
temp += (a2*B) % M;                       // nor this
return temp % M;

对于较大的值，您可以将因子分成三个部分，但如果模数真的接近ULLONG_MAX则会变得难看。