Euclid在图灵机上最大公约数算法的复杂性

Question

考虑Euclid算法的这种实现：

function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
       t := b
       b := a mod b
       a := t
    return a

wikipedia上的一个很好的证据表明算法＆＃34;总是需要小于O（h）的分数，其中h是较小数字b＆＃34;中的数字位数。

然而，在图灵机上，计算mod b的过程的时间复杂度为O（a + b）。我的直觉和一些大型测试告诉我，Euclid算法的复杂性在图灵机上仍然是O（a + b）。

关于如何证明这一点的任何想法？

Answer 1

如果我在图灵机上实现二进制数的GCD，我将实现以下算法。我看不出它会如何小于O（（ln a + ln b）^ 2）。我认为最有效的表示是在步骤2之后按位交错两个值。

1. 令s1 = a的最低有效位中的零个数。删除这些底部的s1零位。
2. 令s2 = b的最低有效位中的零个数。删除这些底部的s2零位。
3. 设s = min（s1，s2）
4. 现在a和b都很奇怪。如果b <然后交换a和b。
5. b＆gt; = a。设置b = b - a，然后从b中删除所有最低有效位。
6. 如果b！= 0，请转到4。
7. 将零位添加到a的末尾。这就是结果。