Question

计算产品的最有效方法是什么

¹ b ² c ³ d ⁴ e ⁵ ...

假设平方成本大约是乘法的一半？操作数的数量小于100。

对于乘法时间与操作数长度的平方成正比的情况（与java.math.BigInteger一样），是否还有一个简单的算法？

第一个（也是唯一的）答案是完美的w.r.t.操作次数。

有趣的是，当应用于相当大的BigInteger时，这部分根本不重要。即使在没有任何优化的情况下计算 abbcccddddeeeee 也需要大约相同的时间。

大部分时间花在最后的乘法上（BigInteger没有实现像Karatsuba，Toom-Cook或FFT这样的智能算法，所以时间是二次的）。重要的是确保中间被乘数大约是相同的大小，即给定大小相同的数量 p，q，r，s 计算（pq）（rs）通常比（（pq）r）s 更快。对于几十个操作数，速度比似乎约为1：2。

Answer 1

我绝对不知道这是否是最佳方法（尽管我认为它是渐近最优的），但你可以在O(N)次乘法中完成所有这些。您将a * b^2 * c^3的参数分组为：c * (c*b) * (c*b*a)。在伪代码中：

result = 1
accum = 1
for i in 0 .. arguments:
  accum = accum * arg[n-i]
  result = result * accum

我认为它是渐近最优的，因为你必须使用N-1乘法来乘以N输入参数。

Answer 2

为mentioned in the Oct 26 '12 edit：
由于操作数大小的乘法时间是超线性的，因此将长操作的操作数大小保持相似是有利的（特别是如果唯一可用的Toom-Cook是toom-2（Karatsuba））。如果不进行完全优化，将操作数放在队列中以允许按长度增加（显着）的顺序弹出它们，这似乎是对臀部的一个很好的尝试。
再说一次，有一些特殊情况：0，2的乘方，其中一个因子是（否则）“平凡”的（“长乘一位数乘法”，因子长度的总和是线性的）。
并且平方比普通乘法更简单/更快（问题建议假设½），这将建议以下策略：

在预处理步骤中，计算由指数加权的尾随零
如果遇到0，结果为0
删除尾随零，丢弃结果值1
如果没有剩余值，结果为
查找并合并多次出现的值
设置一个队列，以允许提取“最短”号码。对于每一对（数字，指数），插入因子exponentiation by squaring将成倍
可选：结合“琐碎的因素”（请参见上文）并重新插入
不知道如何去做。说出长度为12的因子，其中琐碎的，初始因子为长度1，2，…，10，11，12，…，n。最佳地，您将1 + 10、2 + 9，…组合为12中的7个琐碎因素。最短组合会得到12中的8的3、6、9、12。
提取最短的因子对，相乘并重新插入
一旦只有一个数字，结果就是将第一步中的零加在上面

（如果分解成本很低，那么它就必须很早进行下去，才能从廉价平方中获得最大收益。）

有效地计算产品a * b ** 2 * c ** 3 ....

2 个答案: