Question

如果数字按升序排列，则数字为“升序”。示例：1223469。“降序”数字的数字按降序排列。示例：9844300。不是“升序”或“降序”的数字称为“跳跃”。从1到100的数字不是“跳跃”。从101到10 ^ 60有多少“跳跃”数字？

Answer 1

这是一个想法：不是计算跳跃数，而是计算升序和降序数。然后从所有数字中减去它们。

计算上升/下降应该很容易 - 你可以根据剩下的数字生成动态编程，以及你放在最后位置的数字。

Answer 2

我将描述如何计算递增数字，因为这样更容易。从那里开始，你也可以计算下降的数量，然后从总数量中减去合计数量，补偿重复，如Ivan所示，或者设计一种更复杂的方式来直接计算跳数。

一种不同的方法

考虑按结束数字排序的数字。我们从1位数的数字开始，这将是我们的列表

1 // Amount of numbers ending with 1
1 // Amount of numbers ending with 2
1 // Amount of numbers ending with 3
1 // Amount of numbers ending with 4
1 // Amount of numbers ending with 5
1 // Amount of numbers ending with 6
1 // Amount of numbers ending with 7
1 // Amount of numbers ending with 8
1 // Amount of numbers ending with 9

要构建两位数以6结尾的数字，我们可以使用所有以6或更少结尾的数字

1 // Amount of numbers ending with 1 with 2 digits
2 // Amount of numbers ending with 2 with 2 digits
3 // Amount of numbers ending with 3 with 2 digits
4 // Amount of numbers ending with 4 with 2 digits
5 // Amount of numbers ending with 5 with 2 digits
6 // Amount of numbers ending with 6 with 2 digits
7 // Amount of numbers ending with 7 with 2 digits
8 // Amount of numbers ending with 8 with 2 digits
9 // Amount of numbers ending with 9 with 2 digits

并排编写这些内容，可以看到如何快速计算新值：

y a // y，a和x之前已经计算过了 x（a + x）

一个简单的Python程序

迭代一个这样的列，如果我们总是记住最后一次计算，我们可以直接生成新列的所有值。 scan()函数完全抽象出取一个元素的行为，并用它和最后的结果做一些计算。

def scan(f, state, it):
  for x in it:
    state = f(state, x)
    yield state

现在，生成下一列就像：

一样简单

new_column = list(scan(operator.add, 0, column))

为简单起见，我们使用单个数字作为起点：

first_row = [1]*9

看到我们总是需要将新行反馈给该函数，可以再次使用scan来做到这一点：

def next_row(row):
    return list(scan(operator.add, 0, column))

def next_row_wrapper(row, _):
    return next_row(row)

>>> [list(x) for x in scan(next_row_wrapper, [1]*9, range(3))] # 3 iterations
[[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45], [1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165]]

正如您所看到的，这使得前三行与第一行不同。

由于我们想知道所有数字的总和，我们可以做到这一点。当我们进行1次迭代时，我们得到所有递增的数字直到10 ^ 2，所以我们需要对所有数字进行59次迭代，直到10 ^ 60：

>>> sum(sum(x) for x in scan(lambda x, _: next_row(x), [1]*9, range(59))) + 10
56672074888L

对于降序数字，它非常相似：

>>> sum(sum(x) for x in scan(lambda x, _: next_row(x), [1]*10, range(59))) + 10 - 58
396704524157L<

旧方法

想想数字如何结束：

从10到99，我们每个数字有两位数。

有

1以1
2以2结尾
3结束于3
4以4结尾
5结束于5
6结束于6
7结束于7
8结束于8
9结束于9

所有这些数字都作为100到999之间数字的前缀。

例如，有三个数字以3结尾：

13
23
33

对于这三个数字中的每一个，我们可以创建七个递增数字：

133
134
135
136
137
138
139

很容易看出，这为七个可能的结束数字中的每一个添加了三个数字。

如果我们想要扩展以4结尾的数字，那么过程将类似：目前，有4个数字以4结尾。因此，对于每个这样的数字，我们可以创建6个新的递增数字。这意味着，对于所有六个可能的结束数字，将会有额外的4个。

如果你已经理解了我在这里写的所有内容，那么应该很容易概括并实现一种算法来计算所有这些数字。

Answer 3

非跳数：

69 choose 9（升序数量≤60）
+ 70 choose 10 - 60（降序数量≤60）
- 60 * 9（重复计算：所有数字相同）
- 1（重复计数：零）
= 453376598563

（要获得跳跃数字，从总数中减去：10 ⁶⁰）

计算数字的简单python程序：

# I know Python doesn't do tail call elimination, but it's a good habit.
def choose(n, k, num=1, denom=1):
  return num/denom if k == 0 else choose(n-1, k-1, num*n, denom*k)

def f(digits, base=10):
  return choose(digits+base-1, base-1) + choose(digits+base, base) - digits*base - 1

升序数字：从0开始，选择9个位置来递增数字。

降序数字：假装我们有一个数字10，用于左边填充数字。然后选择10个位置来减少数字，从10开始。然后删除10个选定位置连续而不是最后的所有选项，这将对应于前导0的数字序列。

由于所有数字都相同的数字都将由降序和递增算法产生，我们必须减去它们。

请注意，所有这些算法都认为数字0写入时根本没有数字。此外，所有数字≤100都是升序或降序（或两者），因此无需担心它们。

Answer 4

您是将321计为下降还是将000000321视为跳跃？

提示答案：59位数的升序号码（69选10），因为你必须选择数字中哪些点位于不同的数字之间。

数量从101到10 ^ 60的“跳跃”数字？

4 个答案:

一种不同的方法

一个简单的Python程序

旧方法