如何在范围搜索中使用Morton Order？

Question

如果我有一个数据集，其中键是3D中的点，由3个带符号的64位整数表示。我想使用（排序的）键值存储来存储它们，其中键只是字节数组（但我可以指定一个比较器）。我想我可以通过使用位交错将所有这些点转换为字节数组，就像在How to compute a 3D Morton number

中使用Z / Morton顺序一样

除了获取单个点之外，没有Morton排序可以更简单地完成，我想进行范围搜索，我在一个与轴对齐的框中搜索。我将A和B分别定义为所有坐标最低的框角，以及所有坐标最高的对角。

现在我的问题是：

1. 对于任何在逻辑上介于A和B之间的C点，C的Morton数是否也介于A和B的Morton数之间？ （这不是莫顿的命令吗？）

2. 如果1为否，A和B是否可以“舍入”到保证将包含C的值？

3. 假设1或2是可能的，搜索返回也指向该框之外，我必须“后过滤”吗？ “错误集”有多大（它取决于搜索的大小或位置）？

4. 整数是否已签名会导致问题？如果是这样，是否有解决方法？

回顾一下，使用Morton Numbers只是实际问题的一种可能解决方案：当3D点必须映射到一维值时，如何有效地在3D整数空间中进行范围搜索？我希望通过使用min-key和max-key在数据库中执行单个范围选择来获得A和B之间的所有点，，理想情况下，在框外获得尽可能少的点尽可能。

Answer 1

4）是的，这个标志会引起一个问题，但要解决这个问题很简单。

在创建Morton编号之前，将x，y和z的符号位与X进行异或。

为什么会这样（使用1维签名字节代替）：

二进制中的

-1是11111111

二进制中的

0是00000000

二进制的

1是00000001

您想要的顺序是-1,0,1，但当前的二进制顺序是0,1，-1。

-1 XOR 10000000 = 01111111

0 XOR 10000000 = 10000000

1 XOR 10000000 = 10000001

现在你的二进制订单是正确的

Answer 2

好像我必须自己回答我的问题。答案将与z阶曲线相关，这就是我实际要求的。就我而言：

1. 是。它总是像z阶曲线那样工作。
2. 无关紧要，因为1）是真的。
3. 这取决于区域的大小和位置，但最糟糕的情况是当你实际包含空间的中心时，而不是当你远离它时。对于任何维度，如果在每个维度中使用深度为N位的索引，则存在特殊情况，其中z顺序曲线为您提供完全匹配，并且您只在搜索框中获得点。满足以下条件时会发生这种情况：
   1. 搜索区域在所有维度上具有相同的大小，并且功率为2，2 ^ M，其中0 <= M <= N。
   2. 搜索区域是与所有轴对齐的超立方体。
   3. 搜索区域超立方角的所有坐标都是2 ^ M的倍数。 当满足所有这些条件时，搜索区域完全对应于子树节点，因此完全匹配。但是，在一般情况下，您可以做的最好的事情是找到最小的节点，它将保存所有所需的点，并在提供部分匹配的较小节点中递归细分，达到某个最大所需深度，以便更好地匹配使用多个查询的成本。查找包含该区域所有角的最小树节点等效于为所有角找到Morton代码的公共前缀。当使用单个查询时，返回区域之外的点数是查询的节点的体积减去搜索区域的体积。
4. 我很确定这是一个问题，但我还没有找到相关信息。

我所说的似乎并不清楚，所以我会做一点ASCII艺术......

2D中的基本Z阶（Morton阶）曲线如下所示（路径为A，B，C，D）：

x 0 1

0 A B

1 C D

所以，A =（0,0）B =（0,1）C =（1,0）D =（1,1）

现在2D中的基本希尔伯特曲线就像这样（路径是A，B，C，D）：

x 0 1

0 A D

1 B C

所以，A =（0,0）B =（1,0）C =（1,1）D =（0,1）

使用Z顺序（Morton顺序），曲线将从最低点A（0,0）开始，以最高点D（1,1）结束，同时覆盖其间的所有点。这使得范围搜索变得容易，并且它也可以在3D中工作。 3D框（0,0,0）到（1,1,1）中的所有点都在Morton订单代码（0,0,0）和（1,1,1）之间。

使用希尔伯特曲线，从（0,0）开始到（0,1）结束（在3D中可能相似）。因此，从Hilbert代码（0,0）到（1,1）执行范围查询将找不到所有点。

因此，如果我使用希尔伯特曲线来执行3D框（0,0,0）到（1,1,1）的范围查询（作为单个数据库查询），我需要一个函数告诉我应该用什么点作为第一点，我应该用什么点作为最后一点，因为（0,0,0）和（1,1,1）将不起作用。

那么，是否有这样的功能，你给你的8（用于3D）框坐标，它返回你的范围查询中使用的第一个和最后一个点？没有它，我不能用希尔伯特曲线来解决我的问题。

或者，在伪SQL中：

莫顿查询： SELECT键，数据FROM表WHERE（键＆gt; = Morton（最低（框）））AND（键＆lt; = Morton（最高（框）））

希尔伯特查询： SELECT键，数据FROM表WHERE（键＆gt; = Hilbert（XXX（方框）））AND（键＆lt; = Hilbert（YYY（方框）））

所以我需要XXX（）和YYY（）。

[编辑]这个答案的一部分是针对一些其他答案，告诉我使用希尔伯特曲线，但后来删除了他们的答案。

Answer 3

一般来说，尝试将3维减少到1维并不是很多。您可以尝试的方法：找到主轴（即通过您的点做一条线），然后将点投影到线上。这为您提供了每个点所需的一维值。当您将方框的角投射到线上并采用这些值的封闭间隔时，您将获得搜索范围。