嵌套循环到数学模型中以计算操作次数

Question

我正在阅读Sedgewick和Wayne的“算法 - 第四版”一书，我必须承认“算法分析”一章中的某些部分让我很困惑！这可能是由于我缺乏数学知识......无论如何！

本书的某处，有一个程序的例子，其中内循环被称为完全执行N（N-1）（N-2）/ 6次。这是：

    public static int count(int[] a) {
        int count = 0;

        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = i + 1; i < a.length; j++) {
                for (int k = j + 1; k < a.length; k++) {
                    if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) {
                        count++; 
                    } 
                }
            }
        }
        return count;
    }

我熟悉大O符号，但是当计算循环中的确切运算次数时，我迷失了。我理解N（N-1）（N-2）部分，但为什么我们必须除以6？它背后的逻辑是什么？

非常感谢任何帮助！

Answer 1

如果你能理解N(N-1)(N-2)部分，这里有一个想法：

结合使用3个数字，i，j，k，无论3个属于0 <= i,j,k < N范围内的哪个和另一个不同（这在代码中也要小心，这就是为什么公式为{{ 1}}而不是N(N-1)(N-2)。

现在，我们可以说这些数字是13,17,42。它们的数字并不重要。您可以通过多少种方式将它们排成一行？

N^3

六！

这些方法中有多少可以出现在代码中？只有一个！ （在13-17-42 13-42-17 17-13-42 17-42-13 42-13-17 42-17-13 和j的初始化时要小心。

因此，k的总数应除以N(N-1)(N-2)。

Answer 2

您可以使用Sigma表示法，并了解如何提出书中提到的公式：

Answer 3

我们知道......

  

1 + 2 + 3 + 4 ... + N =＆gt; N（N-1）/ 2

同样，最里面的循环就像

一样

  

1.n + 2（N-1）+3（N-2）+ ... N.1 =＆gt; N（N-1）（N-2）/ 6

这是proof。

Answer 4

6来自3！ （三个因子来自三个循环）。

考虑最外面的循环，例如，一个包含5个元素的数组。对于等式的那一部分，你计算N = 5，但是你只能在值i = 0，i = 1或i = 2的情况下到达你的内环。类似地，你用（N-1）表示下一个循环，但是你只能到达你的内部循环中的值j = 1，j = 2或j = 3而不是由（N-1）暗示的四个值）。

除以6（对于三个循环）补偿在到达最内层循环之前数组中的值将耗尽的值。