Question

我需要随机生成1到K范围内的整数NxN矩阵，以便所有行和列分别具有元素成对不同的属性。

例如，对于N = 2且K = 3

没关系：

1 2
2 1

这不是：

1 3
1 2

（请注意，如果K

当K足够大于N时，足够有效的算法只是生成1..K整数的随机矩阵，检查每行和每列是否成对不同，如果不再尝试。

但是K不比N大很多的情况呢？

Answer 1

这不是一个完整的答案，而是一个不起作用的直观解决方案的警告。我假设通过“随机生成”你的意思是在所有现有的这样的矩阵上具有统一概率。

对于N = 2且K = 3，这里是可能的矩阵，直到集合[1..K]的排列：

1 2    1 2    1 2
2 1    2 3    3 1

（因为我们忽略了集合[1..K]的排列，我们可以假设wlog第一行是1 2）。

现在，直观（但不正确）的策略是逐个绘制矩阵条目，确保每个条目与同一行或列上的其他条目不同。要了解它为什么不正确，请考虑我们已经绘制了这个：

1 2
x .

我们正在画x。 x可以是2或3，但如果我们给出每个可能性的概率1/2，那么矩阵

1 2
3 1

将获得最终绘制的概率1/2，而它应该只有概率1/3。

Answer 2

这是一个（文本）解决方案。我不认为它提供了良好的随机性，但是对于你的应用程序来说它是可以接受的。

让我们使用以下算法生成[0; K-1]范围内的矩阵（如果需要，您将对所有元素执行+1）：

使用您想要的任何随机方法生成第一行。
每个数字都是随机序列的第一个元素，以保证在后续行中没有重复的方式计算，即对于任何不同的列x和y，你将得到x [i]！= y [i]为[0; N-1]中的所有i。
计算前一行的每一行。

所有算法都基于具有我提到的属性的随机生成器。通过快速搜索，我发现Inversive congruential generator符合此要求。它似乎很容易实现。如果K是素数，它就有效;如果K不是素数，请参见同一页“复合反转发生器”。也许处理完美的正方形或立方数（你的问题听起来像数独:-)）会有点棘手，但我认为通过创建具有K的素因子和不同参数化的复合生成器是可能的。对于所有生成器，每列的第一个元素是种子。

无论K的值如何，复杂性仅取决于N并且是O（N ^ 2）。

Answer 3

确定性地生成具有行和列的期望属性的矩阵。提供K> N，这可以很容易地通过用i开始第i行，并用i + 1，i + 2等填充行的其余部分，在K之后回到1。其他算法是可能的。
随机置换列，然后随机置换行。

让我们假设置换行（即拾取整行并按某种顺序从它们组装新矩阵，每行可能处于不同的垂直位置）为行和列保留所需的属性，假设它们是真的之前。同样的推理也适用于列排列，以及任何一种排列的任何序列。

平凡地说，置换行不能改变在每行中没有元素出现多次的属性。
在特定列上排列行的效果是重新排序该列中的元素。这适用于任何列，并且由于重新排序元素不能生成之前没有的重复元素，因此置换行不能更改在每列中没有元素出现多次的属性。

我不确定这个算法是否能够生成所有可能令人满意的矩阵，或者如果它能够生成，它是否会以相同的概率生成所有可能令人满意的矩阵。我没有答案的另一个有趣的问题是：需要多少轮排列 - 然后 - 列 - 置换？更确切地说，是否有限的行 - 烫发 - 然后 - 列 - 烫发轮相当于有限数量的（或特别是一个）行 - 烫发 - 然后 - 列 - 烫发轮？如果是这样，则在第一行和列排列之后通过进一步的排列没有获得任何东西。也许具有较强数学背景的人可以发表评论。但无论如何它可能已经足够好了。

用成对不同的行和列生成随机矩阵

3 个答案: