计算将硬币放在网格上的方法

Question

问题要求我们找出将R币放置在N * M网格上的方式的数量，使得每行和每列至少有一枚硬币。给出的约束是N，M <1。 200，R＆lt; N * M个。我最初想的是回溯，但我意识到它永远不会及时完成。有人可以指导我另一种解决方案吗？ （DP，封闭形式公式。）任何指针都会很好。感谢。

Answer 1

答案

根据OEIS sequence A055602，一个可能的解决方案是：

Let a(m, n, r) = Sum_{i=0..m} (-1)^i*binomial(m, i)*binomial((m-i)*n, r)

Answer = Sum_{i=0..N} (-1)^i*binomial(N, i)*a(M, N-i, R) 

您需要为a。

评估N + 1个不同的值

假设你有预先计算的二项式系数，a的每个评估都是O（M），所以总复杂度是O（NM）。

解释

此公式可以使用inclusion-exclusion principle两次派生。

a（m，n，r）是将r币放在大小为m * n的网格上的方式的数量，使得m列中的每一列都被占用，但并非所有行都必须被占用。

包含 - 排除将此转换为正确答案。 （我们的想法是从（M，N，R）得到我们的第一个估计值。这高估了正确答案，因为并非所有行都被占用所以我们减去a（M，N-1，R）的情况我们只占用N -1行。然后低估了所以我们需要再次纠正...）

类似地，我们可以通过考虑b（m，n，r）来计算a（m，n，r），b（m，n，r）是将r硬币放在网格上的方式的数量，我们不关心被占用的行或列。这可以简单地从在网格大小m * n中选择r个位置的方式的数量导出，即二项式（m * n，r）。我们使用IE将其转换为函数a（m，n，r），我们知道所有列都被占用。

如果您想对每个方格上的硬币数量允许不同的条件，那么您只需将b（m，n，r）更改为适当的计数功能。

Answer 2

这很难，但是如果你开始计算每行和每列至少有一枚硬币的数量（称之为储备硬币）。答案将是＃1 (n! / r! (n - r)!) *的产品，其中＃2 n = N*M - NUMBER_OF_RESERVE_COINS和＃3 r = (R - NUMBER_OF_RESERVE_COINS)为＃4，每个排列在每行/每列上保留一个硬币。

＃p>＃4是发生棘手的事情的地方。对于N * M，其中N！= M，abs(N-M)告诉您单个行/列上将有多少预留硬币。我无法确定进入下一步的正确方法，主要是由于时间不够（虽然我可以在周末回到这里），但我希望我已经为您提供了有用的信息，如果我是已经说过你能够完成这个过程是正确的。