在分析计算机算法时理解关于机器字大小的假设

Question

我正在阅读Thomas H. Cormen，Charles E. Leiserson，Ronald L. Rivest，Clifford Stein所着的书Introduction to Algorithms。在“分析算法”的第二章中提到：

  

我们还假设每个数据字的大小有限制。例如，当使用大小为n的输入时，我们通常假设对于某些常数c> = 1，整数由c lg n位表示。我们要求c> = 1，以便每个单词可以保存n的值，使我们能够索引单个输入元素，并且我们将c限制为常量，以便单词大小不会任意增长。（如果单词大小可以任意增长，我们可以在一个单词中存储大量数据，并在不变的时间内对其进行操作 - 显然是不切实际的情况。）

我的问题是为什么这个假设每个整数应该由c lg n位表示，以及c> = 1的情况如何允许我们索引各个输入元素？

Answer 1

首先，lg它们显然意味着记录基数为2，因此lg n是n中的位数。

然后，他们所说的是，如果他们有一个算法来获取一个数字列表（我在我的例子中更具体，以帮助使其更容易理解），如1,2,3,...n，那么他们认为：< / p>

• 记忆中的“单词”足以容纳任何这些数字。

• 内存中的“单词”不足以容纳所有数字（单个单词，以某种方式打包）。

• 在计算算法中的“步数”时，对一个“单词”的操作只需一步。

他们这样做的原因是为了保持分析的真实性（你只能在“原生”类型中存储一些大小的数字;之后你需要切换到任意精度库）而不选择特定的例子（比如32）在某些情况下可能不合适或过时的位整数。

Answer 2

至少需要lg n位来表示大小为n的整数，因此这是存储大小为n的输入所需位数的下限。设置常数c> = 1使其成为下限。如果常数乘数小于1，则没有足够的位来存储n。

这是RAM模型中的简化步骤。它允许您将每个单独的输入值视为可以在内存的单个插槽（或“单词”）中访问，而不必担心可能出现的并发症。 （如果我们使用允许不同字长的模型，则加载，存储和复制不同字长的值将花费不同的时间。）这就是“使我们能够索引各个输入元素”的含义。假设问题的每个输入元素都可以在单个地址或索引处访问（意味着它适合一个内存字），从而简化了模型。

Answer 3

很久以前就提出过这个问题，这些解释确实对我有所帮助，但我觉得还有一些关于lg n如何产生的澄清。对我来说，谈论事情确实有帮助：

让我们在基数10中选择一个随机数，如27，我们需要5位来存储它。为什么？好吧因为27是二进制的11011。注意11011每个都有5个数字＆＃39;数字＆＃39;我们称之为5比特。

将每个位视为一个插槽。对于二进制文件，每个插槽都可以容纳0或1.我能用5位存储的最大数字是多少？那么，最大的数字将填补每个插槽：11111

11111 = 31 = 2 ^ 5所以要存储31我们需要5位而31是2 ^ 5

一般情况下（为清晰起见，我将使用非常明确的名称）：

numToStore = 2 ^ numBitsNeeded

由于log是指数的数学逆，我们得到： log（numToStore）= numBitsNeeded

由于这可能不会产生整数，我们使用ceil来回答我们的答案。因此，应用我们的示例来查找存储数字31所需的位数：

log（31）= 4.954196310386876 = 5位