确定O（1）中基于数组的二叉树中最低的子节点（具有最大索引的后代）？

Question

通过从左到右，从上到下设置索引，可以使用数组实现一些二叉树结构（例如堆）

           0
      /        \
     1          2
   /   \      /   \
  3     4    5     6
 / \   / \  / \   / \
7   8 9 10 11 12 13 14
       ... etc.

索引x的节点的子节点和父节点可以在O（1）中轻松找到：

child-left(x) = 2x+1
child-right(x) = 2x+2
parent(x) = (x-1)/2

但有没有办法在O（1） 中找到x的最低后代（即具有最高索引的后代）？例如，在上面的树中，x=0的最低后代将是14，而对于x=1，它将是10。请注意，对于x=1，如果树中只有10个元素，则应该返回9。

我可以假设我的数组中永远不会有超过2个 ³² 元素，因此可以使用位移在O（1）中实现2 ⁿ 。也可能log_2（???）

Answer 1

好吧，我明白了。节点x的深度为

depth(x) = log2(x+1)

同样，可以很容易地找到节点x的第i个左子节点和第i个右子节点：

ithLeftChild(x, i) = 2i(x+1) - 1
ithRightChild(x, i) = 2i(x+2) - 2

深度为d的最左侧儿童的索引为ithLeftChild(x, d - depth(x))，右侧儿童的索引类似。

让我们调用最后一个元素n的索引。所以，现在我们可以找到n的深度，我们还可以在该深度找到leftmostChild和rightmostChild的指示（可能比最后一个元素大，意思是它们实际上并不存在）。

现在我们只有三个案例：

• n < leftmostChild。然后我们的子树在该深度没有元素，因此最高索引必须是parent(rightmostChild)。
• leftmostChild <= n <= rightmostChild。那么最高指数必然是n。
• rightmostChild < n。然后rightmostChild必须是我们的最高指数。

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2 ⁱ 可以在O（1）中使用位移实现合理i; log2(x)可以在O（1）using a 256-byte lookup table中实现。因此整体算法 O（1）。