Question

Wikipedia article on the Y combinator提供了Y组合子的以下JavaScript实现：

function Y(f) {
    return (
        (function (x) {
            return f(function (v) { return x(x)(v); }); })
        (function (x) {
            return f(function (v) { return x(x)(v); }); })
    );
}

JavaScript中Y组合子的存在应该意味着每个JavaScript函数都有一个固定点（因为对于每个函数g，Y(g)和g(Y(g))应该相等。）

但是，如果没有违反Y(g) = g(Y(g))的固定点（参见here），就很难找到功能。甚至某些功能也没有固定点（见here）。

如何证明每个函数都有一个固定点与给定的反例一致？ JavaScript不是一个无类型的lambda演算，其中Y(g) = g(Y(g))适用的证据是什么？

Answer 1

据我理解维基百科的文章，它并不意味着“每个JavaScript函数都有一个固定点”的任何地方，这个例子只是简单地说明了如何根据规范为它提供Y组合器。

不，根据该文章和an article on fixed point中的定义，JavaScript不能是无类型的lambda演算，因为它可以制定显然无法“有固定点”检查的函数，如{{1} }或function f(x){ return x + 1 }如果你想包含非数字，那么“每个函数至少有一个固定点”也会失败。

Answer 2

定点理论有各种各样的风格。编程语言的那些是在指称语义的标题下研究的。它们依赖于形成具有特殊属性的结构化可数集的值。 Lattices和Complete Partial Orders就是两个例子。所有这些集合都有一个“底部”元素，结果证明是“没有用的结果”的固定点。实际上，您对计算机程序感兴趣的唯一定点运算符是最少定点运算符：那些找到结构化值集中最低的唯一最小定点点的运算符。（注意所有整数在这些结构化集合中处于相同的“级别”。只有底部元素位于下面。其余的层由更复杂的类型组成，如函数和元组类型，即结构。）如果你有一些离散的数学，this很好地解决了这个问题。 Tarsky的不动点定理实际上表示每个单调（或者交替连续）的函数都有一个固定点。有关定义，请参阅上面的参考。在操作计算机程序中，底部元素对应于非终止计算：无限递归。

所有这一切的要点是，如果你有一个严格的计算数学模型，你就可以开始证明关于类型系统和程序正确性的有趣事情。所以这不仅仅是一次学术练习。

Answer 3

lambda表达式的问题在于它们不能被解释为数学意义上的函数，即从一个集合映射到另一个集合。

原因是集合A本身的函数集的基数总是大于A的基数，因此并非所有函数都从A到{{1 }}可以是A的元素。也就是说，有一个函数A，表达式f: A -> A没有意义。

这就像“不包含自身的所有集合的集合”，这在逻辑上没有意义。

JavaScript不是lambda演算的模型。

你的例子的问题是

f(f)

应该相当于

(lambda x.g(x x)) (lambda x.g(x x))

但它不在您的JavaScript程序中g((lambda x.g(x x)) (lambda x.g(x x)))是g的指标函数。

0始终为x x。因此，第一行评估为undefined。第二行评估为g (undefined) = 0。这意味着你的lambda演算的JavaScript模型实际上并不是真正的模型。

因为对于每个非空集g (g (undefined)) = g (0) = 1，有一个函数从D到D没有固定点，显然不存在lambda演算的模型。我认为应该甚至可以证明在任何图灵完备语言中都不能实现Y-combinator。

Y组合器：某些功能没有固定点

3 个答案: