如何选择常规密度的点

Question

如何以常规密度选择点子集？更正式的，

鉴于

1. 一组 A 不规则间隔点
2. 距离dist的度量标准（例如，欧几里德距离），
3. 和目标密度 d ，

如何选择满足以下条件的最小子集 B ？

• A ，
中的每一点 x
• B
中存在 y 点
• 满足dist(x,y) <= d

我目前最好的拍摄是

• 以 A 本身
开头
• 选择最接近（或者特别接近）的几个点
• 随机排除其中一个
只要条件成立，
• 重复

并重复整个程序以获得最佳运气。但有更好的方法吗？

我试图用280,000个18-D点来做这个，但我的问题是一般的策略。所以我也想知道如何用二维点做到这一点。我并不需要保证最小的子集。欢迎任何有用的方法。谢谢。

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自下而上的方法

• 选择一个随机点
• 选择y最大的未选定min(d(x,y) for x in selected)
• 继续！

我会自下而上地称之为自上而下的那个。这在开始时要快得多，所以对于稀疏采样，这应该更好吗？

绩效衡量指标

如果不要求保证最优性，我认为这两个指标可能有用：

• 覆盖范围：max {y in unselected} min(d(x,y) for x in selected)
• 经济半径：min {y in selected != x} min(d(x,y) for x in selected)

RC是最低允许 d ，并且这两者之间没有绝对的不平等。但RC <= RE更为可取。

我的小方法

为了对“性能测量”进行一点演示，我生成了256个均匀分布的2-D点或标准正态分布。然后我用它们尝试了自上而下和自下而上的方法。这就是我得到的：



RC为红色，RE为蓝色。 X轴是所选点的数量。你认为自下而上可以做得好吗？我是这么看动画，但似乎自上而下明显更好（看看稀疏区域）。尽管如此，并不是太可怕，因为它更快。

我把所有东西收拾好。

http://www.filehosting.org/file/details/352267/density_sampling.tar.gz

Answer 1

您可以使用图形建模您的问题，将点视为节点，如果距离小于 d ，则将两个节点与边连接，现在您应该找到最小的顶点数，使它们成为连接顶点覆盖图的所有节点，这是minimum vertex cover problem（一般是NP-Hard），但你可以使用快速2近似：重复将边的两个端点带入顶点覆盖，然后去除他们来自图表。

P.S：确定你应该选择与图完全断开的节点。删除这些节点后（意味着选择它们），你的问题就是顶点覆盖。

Answer 2

遗传算法可能会在这里产生良好的结果。

<强>更新：

我一直在玩这个问题，这些是我的发现：

一种简单的方法（称之为随机选择）以获得满足所述条件的一组点如下：

1. 以B empty开头
2. 从A中选择一个随机点x并将其放在B
中
3. 从每个点y移除A，使得dist（x，y）< d
4. 虽然A不为空，但请转到2

kd-tree可用于相对快速地执行步骤3中的查找。

我在2D中运行的实验表明，生成的子集大约是自上而下方法生成的子集的一半。

然后我使用这种随机选择算法来种子遗传算法，导致子集大小进一步减少25％。

有关突变，使表示一个子集B中的染色体，我随机选择一个覆盖A.所有点然后最小轴对齐双曲盒内部的超球，我从乙除去所有也都在超球的点和使用随机选择再次完成它。

对于交叉，我采用了类似的方法，使用随机超球来划分母亲和父亲的染色体。

我使用my wrapper为GAUL库实现了Perl中的所有内容（GAUL可以从here获得。

脚本在这里：https://github.com/salva/p5-AI-GAUL/blob/master/examples/point_density.pl

它接受来自stdin的n维点列表，并生成一组图片，显示遗传算法每次迭代的最佳解决方案。伴随脚本https://github.com/salva/p5-AI-GAUL/blob/master/examples/point_gen.pl可用于生成具有均匀分布的随机点。

Answer 3

这是一个假设曼哈顿距离度量的提案：

1. 将整个空间划分为粒度网格d。形式上：分区A使得（x1，...，xn）和（y1，...，yn）在（floor（x1 / d），...，floor（xn / d）时完全位于同一分区中））=（地板（Y1 / d），...，地板（YN / d））。
2. 从每个网格空间中选择一个点（任意） - 即，从步骤1中创建的分区中的每个集合中选择一个代表。如果某些网格空间为空，请不要担心！只是不要选择这个空间的代表。

实际上，实现不需要做任何实际的工作来完成第一步，而第二步可以通过点一次完成，使用分区标识符的散列（（floor（x1 / d）） ，...，floor（xn / d）））检查我们是否已经选择了特定网格空间的代表，这样可以非常非常快。

其他一些距离指标可能能够使用适应的方法。例如，欧几里德度量可以使用d / sqrt（n）-size网格。在这种情况下，你可能想要添加一个后处理步骤，试图稍微减少覆盖（因为上面描述的网格不再是半径d球 - 球稍微重叠相邻的网格），但是我我不确定那部分会是什么样子。

Answer 4

懒惰，这可以转换为集合覆盖问题，可以通过混合整数问题求解器/优化器来处理。这是GLPK LP / MIP求解器的GNU MathProg模型。这里C表示哪个点可以“满足”每个点。

param N, integer, > 0;
set C{1..N};

var x{i in 1..N}, binary;
s.t. cover{i in 1..N}: sum{j in C[i]} x[j] >= 1;
minimize goal: sum{i in 1..N} x[i];

正常分布的1000分，它在4分钟内没有找到最佳子集，但它表示它知道真正的最小值并且只选择了一个点。