Question

如果我有一个点（x，y z），我如何找到该点的线性索引？我的编号方案是（0,0,0）是0，（1,0,0）是1 ,. 。。，（0,1,0）是max-x维度，.... 另外，如果我有一个线性坐标，我，如何找到（x，y，z）？我似乎无法在谷歌上找到这个，所有的结果都充满了其他无关紧要的东西。谢谢！

Answer 1

有几种方法可以将3d坐标映射到单个数字。这是一种方式。

某个函数f（x，y，z）给出坐标（x，y，z）的线性索引。它有一些我们想要推导出的常数a，b，c，d，所以我们可以编写一个有用的转换函数。

f(x,y,z) = a*x + b*y + c*z + d

你已经指定（0,0,0）映射到0.所以：

f(0,0,0) = a*0 + b*0 + c*0 + d = 0
d = 0
f(x,y,z) = a*x + b*y + c*z

那已经解决了。你已经指定（1,0,0）映射到1.所以：

f(1,0,0) = a*1 + b*0 + c*0 = 1
a = 1
f(x,y,z) = x + b*y + c*z

这已经解决了。让我们随意决定（MAX_X，0,0）之后的下一个最高数字是（0,1,0）。

f(MAX_X, 0, 0) = MAX_X
f(0, 1, 0) = 0 + b*1 + c*0 = MAX_X + 1
b = MAX_X + 1
f(x,y,z) = x + (MAX_X + 1)*y + c*z

那已经解决了。让我们随意决定（MAX_X，MAX_Y，0）之后的下一个最高数字是（0,0,1）。

f(MAX_X, MAX_Y, 0) = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1)
f(0,0,1) = 0 + (MAX_X + 1) * 0  + c*1 = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1) + 1
c = MAX_X + MAX_Y * (MAX_X + 1) + 1
c = (MAX_X + 1) + MAX_Y * (MAX_X + 1)
c = (MAX_X + 1) * (MAX_Y + 1)

现在我们知道了a，b，c和d，我们可以按如下方式编写你的函数：

function linearIndexFromCoordinate(x,y,z, max_x, max_y){
    a = 1
    b = max_x + 1
    c = (max_x + 1) * (max_y + 1)
    d = 0
    return a*x + b*y + c*z + d
}

您可以通过类似逻辑从线性索引获取坐标。我有一个真正奇妙的演示，这个页面太小，无法包含。所以我将跳过数学讲座，并给你最后的方法。

function coordinateFromLinearIndex(idx, max_x, max_y){
    x =  idx % (max_x+1)
    idx /= (max_x+1)
    y = idx % (max_y+1)
    idx /= (max_y+1)
    z = idx
    return (x,y,z)
}

Answer 2

如果坐标没有上限，可以从origo向外编号。逐层。

(0,0,0) -> 0
(0,0,1) -> 1
(0,1,0) -> 2
(1,0,0) -> 3
(0,0,2) -> 4
   :       :
(a,b,c) -> (a+b+c)·(a+b+c+1)·(a+b+c+2)/6 + (a+b)·(a+b+1)/2 + a

逆是更难的，因为你必须求解三次多项式。

m1 = InverseTetrahedralNumber(n)
m2 = InverseTriangularNumber(n - Tetra(m1))
a = n - Tetra(m1) - Tri(m2)
b = m2 - a
c = m1 - m2

，其中

InverseTetrahedralNumber(n) = { x ∈ ℕ | Tetra(n) ≤ x < Tetra(n+1) } 
Tetra(n) = n·(n+1)·(n+2)/6 
InverseTriangularNumber(n) = { x ∈ ℕ | Tri(n) ≤ x < Tri(n+1) } 
Tri(n) = n·(n+1)/2

InverseTetrahedralNumber(n)可以从large analytic solution计算，也可以使用some numeric method进行搜索。

这是我对代数解决方案（javascript）的尝试。我使用替换p = a+b+c，q = a+b，r = a来简化方程式。

function index(a,b,c) {
    var r = a;
    var q = r + b;
    var p = q + c;
    return (p*(p+1)*(p+2) + 3*q*(q+1) + 6*r)/6;
}

function solve(n) {
    if (n <= 0) {
        return [0,0,0];
    }

    var sqrt = Math.sqrt;
    var cbrt = function (x) { return Math.pow(x,1.0/3); };

    var X = sqrt(729*n*n - 3);
    var Y = cbrt(81*n + 3*X);
    var p = Math.floor((Y*(Y-3)+3)/(Y*3));
    if ((p+1)*(p+2)*(p+3) <= n*6) p++;
    var pp = p*(p+1)*(p+2);

    var Z = sqrt(72*n+9-12*pp);
    var q = Math.floor((Z-3)/6);
    if (pp + (q+1)*(q+2)*3 <= n*6) q++;
    var qq = q*(q+1);

    var r = Math.floor((6*n-pp-3*qq)/6);
    if (pp + qq*3 + r*6 < n*6) r++;

    return [r, q - r, p - q];
}

如何计算3D坐标的线性索引，反之亦然？

2 个答案: