Question

请注意，这是一项任务，所以最好不要发布完整的解决方案，相反，我只是陷入困境，需要一些关于我接下来要看的内容的提示。

module BST where

open import Data.Nat
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Relation.Binary
open DecTotalOrder decTotalOrder using () renaming (refl to ≤-refl; trans to ≤-trans)


data Ord (n m : ℕ) : Set where
  smaller : n < m -> Ord n m
  equal   : n ≡ m -> Ord n m
  greater : n > m -> Ord n m

cmp : (n m : ℕ) -> Ord n m
cmp zero zero       = equal refl
cmp zero (suc n)    = smaller (s≤s z≤n)
cmp (suc n) zero    = greater (s≤s z≤n)
cmp (suc n) (suc m) with cmp n m 
... | smaller n<m-pf = smaller (s≤s n<m-pf)
... | equal   n≡m-pf = equal (cong suc n≡m-pf)
... | greater n>m-pf = greater (s≤s n>m-pf)


-- To keep it simple and to exclude duplicates,
-- the BST can only store [1..]
--
data BST (min max : ℕ) : Set where
  branch : (v : ℕ)
         → BST min v → BST v max 
         → BST min max
  leaf   : min < max -> BST min max

这些已经导入：

≤-refl : ∀ {a} → a ≤ a 

≤-trans : ∀ {a b c} → a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

我们需要实现这个扩大BST范围的函数：

widen : ∀{min max newMin newMax}
      → BST min max
      → newMin ≤ min
      → max ≤ newMax
      → BST newMin newMax

到目前为止，我有这个：

widen : ∀{min max newMin newMax}
      → BST min max
      → newMin ≤ min
      → max ≤ newMax
      → BST newMin newMax
widen (leaf min<max-pf) newMin<min-pf max<newMax-pf = BST newMin<min-pf max<newMax-pf
widen (branch v l r) newMin<min-pf max<newMax = branch v 
                                                (widen l newMin<min-pf max<newMax) 
                                                (widen r newMin<min-pf max<newMax)

现在这显然不起作用，因为新界限不必严格小于/大于最小值/最大值。给出了一个暗示：It is not strictly necessary, but you may find it helpful to implement an auxiliary function that widens the range of a strictly smaller than relation of the form min < max.这就是我在这里所做的一切，显然我需要改变一些事情，但我认为基本的想法就在那里。

这就是我所处的地方，我真的很困惑于从哪里开始，我做了尽可能多的研究，但是没有很多阅读材料可供使用阿格达。我是否需要使用≤-refl或≤-trans？

Answer 1

这里棘手的部分是了解widen函数实际需要改变的内容。一旦你得到了，编写代码就相当容易了。

让我们从leaf部分开始，我们有：

widen (leaf min<max) newMin≤min max≤newMax = {! !}

leaf min<max的类型为BST min max。应用widen后，我们希望树的类型为BST newMin newMax - 这意味着我们必须将证明min < max更改为newMin < newMax。

幸运的是，我们知道newMin ≤ min和max ≤ newMax。 ≤具有传递性（事实上，≤形成了一个总数超过ℕ）并且很容易遵循newMin ≤ newMax - 这很好，但是我们有告诉Agda。

这就是≤-trans发挥作用的地方。回想一下：

≤-trans : ∀ {a b c} → a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

这是传递性的定义！正是我们正在寻找的东西。（相当小的）问题是我们的证明与<一起使用≤。如果他们没有

trans-4 : ∀ {a b c d} → a ≤ b → b ≤ c → c ≤ d → a ≤ d

写起来相当容易（你只需要两次申请≤-trans）。您可能想要实际编写此函数，它将帮助您完成下一部分。

我们知道a ≤ b（newMin ≤ min）和c ≤ d（max ≤ newMax），但我们只知道b < c - 我们不能只应用≤-trans两次。查看Data.Nat，我们发现

_<_ : Rel ℕ Level.zero
m < n = suc m ≤ n

所以我们真正想写的是：

trans-4 : ∀ {a b c d} → a ≤ b → suc b ≤ c → c ≤ d → suc a ≤ d

这有点困难，所以让我们把它分成两步。我们需要证明：

trans₁ : ∀ {a b c} → a ≤ b → suc b ≤ c → suc a ≤ c -- a ≤ b → b < c → a < c
trans₂ : ∀ {a b c} → suc a ≤ b → b ≤ c → suc a ≤ c -- a < b → b ≤ c → a < c

如果我们≤-trans而不是suc a ≤ suc b，可以使用a ≤ b。但我们可以做到！如果是a ≤ b，那么肯定是a + 1 ≤ b + 1。再次快速查看标准库：

data _≤_ : Rel ℕ Level.zero where
  z≤n : ∀ {n}                 → zero  ≤ n
  s≤s : ∀ {m n} (m≤n : m ≤ n) → suc m ≤ suc n

我把剩下的作为练习。一旦你知道newMin < newMax，重建leaf中的证据就变得微不足道了。

branch部分实际上更容易在Agda中编写，当然，棘手的部分是找出我们需要改变的证据。

我们有：

widen (branch v l r) newMin≤min max≤newMax = {! !}

同样，branch v l r的类型为BST min max，我们需要BST newMin newMax。如您所知，我们需要创建一个新分支并递归地扩展l和r。

如果我们想以递归方式应用widen，我们最好检查一下l和r的类型：

l : BST min v
r : BST v max

因为这个答案已经很长了，我将讨论l子树，另一个案例是对称的。

问题当然是，如果我们将widen应用于l，我们还需要提供两个新的证明。 min没有改变，所以我们可以将newMin≤min作为第一个传递。那第二个怎么样？我们无法再提供max≤newMax，因为我们的子树为BST min v而不是BST min max。

我们的最终树必须看起来像BST newMin newMax，我们知道它必须包含v。这使我们只能选择加宽左子树的类型 - BST newMin v。

这是什么意思？因此，第二个证明的类型为v ≤ v，从这里开始就很容易了！

快乐的编码！

Agda和二进制搜索树

1 个答案: