Question

我在C中编写一个需要矩阵和向量乘法的算法。我有一个矩阵 Q （W x W），它是通过乘以矢量 J 的转置而创建的（ 1 x W）自身并添加标识矩阵 I ，使用标量 a 进行缩放。

Q = [（J ^ T）* J + aI]。

然后我必须将的与向量G 相乘得到向量 M 。

M =（Q ^（ - 1））* G。

我正在使用 cblas 和 clapack 来开发我的算法。当矩阵 Q 使用随机数填充（类型为float）并使用例程 sgetrf _ 和 sgetri _ 进行反转时，计算出的反函数正确

但是当矩阵Q是对称的时，乘以（J ^ T）x J就是这种情况，计算出的逆是错误的!! 。

在从C调用 lapack 例程时，我知道数组的行主要（在C中）和列主要（在FORTRAN中）格式，但对于对称矩阵，这不应该是问题为A ^ T = A.

我已经在下面附加了我的C函数代码用于矩阵求逆。

我相信有更好的方法来解决这个问题。任何人都可以帮我这个吗？

使用cblas的解决方案会很棒......

感谢。

void InverseMatrix_R(float *Matrix, int W) { int LDA = W; int IPIV[W]; int ERR_INFO; int LWORK = W * W; float Workspace[LWORK]; // - Compute the LU factorization of a M by N matrix A sgetrf_(&W, &W, Matrix, &LDA, IPIV, &ERR_INFO); // - Generate inverse of the matrix given its LU decompsotion sgetri_(&W, Matrix, &LDA, IPIV, Workspace, &LWORK, &ERR_INFO); // - Display the Inverted matrix PrintMatrix(Matrix, W, W); } void PrintMatrix(float* Matrix, int row, int colm) { int i,k; for (i =0; i < row; i++) { for (k = 0; k < colm; k++) { printf("%g, ",Matrix[i*colm + k]); } printf("\n"); } }

Answer 1

我不知道BLAS或LAPACK，所以我不知道是什么原因导致这种行为。

但是，对于给定形式的矩阵，计算逆是非常容易的。对此重要的是

(J^T*J)^2 = (J^T*J)*(J^T*J) = J^T*(J*J^T)*J = <J|J> * (J^T*J)

其中<u|v>表示内部产品（如果组件是真实的 - 复杂组件的规范双线性形式，但是你可能不会考虑转置而是共轭转置，你会回到内在的产品上。）

要概括，

(J^T*J)^n = (<J|J>)^(n-1) * (J^T*J), for n >= 1.

让我们用(J^T*J)表示对称方阵S，用<J|J>表示标量q。然后，对于具有足够大的绝对值（a != 0）的一般|a| > q：

(a*I + S)^(-1) = 1/a * (I + a^(-1)*S)^(-1)
               = 1/a * (I + ∑ (-1)^k * a^(-k) * S^k)
                           k>0
               = 1/a * (I + (∑ (-1)^k * a^(-k) * q^(k-1)) * S)
                            k>0
               = 1/a * (I - 1/(a+q)*S)
               = 1/a*I - 1/(a*(a+q))*S

除a和a = 0之外的所有a = -q，该公式（通过分析性）保留，可通过计算验证

(a*I + S) * (1/a*I - 1/(a*(a+q))*S) = I + 1/a*S - 1/(a+q)*S - 1/(a*(a+q))*S^2
                                    = I + 1/a*S - 1/(a+q)*S - q/(a*(a+q))*S
                                    = I + ((a+q) - a - q)/(a*(a+q))*S
                                    = I

使用S^2 = q*S。

该计算也比首次找到LU分解更简单，更有效。

Answer 2

3x3矩阵求逆的示例，请访问sgetri.f了解更多

//__CLPK_integer is typedef of int
//__CLPK_real is typedef of float


__CLPK_integer ipiv[3];
{
    //Compute LU lower upper factorization of matrix
    __CLPK_integer m=3;
    __CLPK_integer n=3;
    __CLPK_real *a=(float *)this->m1;
    __CLPK_integer lda=3;
    __CLPK_integer info;
    sgetrf_(&m, &n, a, &lda, ipiv, &info);
}

{
    //compute inverse of a matrix
    __CLPK_integer n=3;
    __CLPK_real *a=(float *)this->m1;
    __CLPK_integer lda=3;
    __CLPK_real work[3];
    __CLPK_integer lwork=3;
    __CLPK_integer info;
    sgetri_(&n, a, &lda, ipiv, work, &lwork, &info);
}

Answer 3

您可能想尝试Armadillo，这是一个易于使用的LAPACK C ++包装器。它提供了几个与逆相关的函数：

inv()，一般反向，对称正定矩阵的可选加速
pinv()，pseudo-inverse
solve()，解决一个线性方程组（可以是超定或欠定），而不做实际的反演

使用CBLAS / LAPACK的C中的对称矩阵求逆

3 个答案: