Question

考虑以下问题：

有N个硬币编号为1到N.

你看不到它们，但是给出了关于它们的M个事实：

struct Fact
{
    set<int> positions
    int num_heads
}

positions标识硬币的子集，num_heads是该子集中的硬币数量。

鉴于这些M个事实，你需要计算出最大数量的头部。

这个问题NP完全吗？如果是，减少量是多少？如果不是，什么是多项式时间解？

例如：

N = 5
M = 3
fact1 = { {1, 2}, 1 } // Either coin 1 or coin 2 is a head
fact2 = { {4}, 0 } // Coin 4 is a tail
fact3 = { {2, 4, 5}, 2 } // Out of coins 2, 4 and 5, two are heads

具有与事实匹配的最多头部的配置是：

T H H T H

所以答案是3个头。

Answer 1

假设您有3-SAT问题。您可以将该问题中的每个布尔变量v映射到两个硬币。称他们为'真（v）'和'假（v）'。这个想法是，如果对3-SAT问题的解决方案中的v是真的，那么'true（v）'就是头;否则'假（v）'是头。对于每个v，您添加硬币约束

{true(v), false(v)} has 1 heads, and has 1 tails

在此之后，您可以使用文字l1，l2，l3翻译3-SAT子句

l1 or l2 or l3

到硬币约束

{t/f(l1), t/f(l2), t/f(l3)} has at least 1 heads

其中t / f（l1）为'true（l1）'或'false（l1）'，具体取决于子句中l1是正（否定）还是负（否定）。我们只需要证明在硬币问题中可以实现“至少1个头”，因为“至少1个头”不能直接表达。这可以使用以下设备完成。设C1，C2，C3为三个硬币，我们要为其约束'至少其中一个是头'。创建其他三个硬币X1，X2，X3并加入约束

{X1, X2, X3, C1, C2, C3} has 4 heads

但X1，X2，X3没有其他限制。仅当C1，C2，C3中的至少一个为头时，才满足该约束;硬币X1..3可用于提供剩余的头部。

请注意，此减少根本不使用问题的“最大头数”方面;如果3-SAT公式不可满足，根本不可能为表示布尔变量的硬币选择头/尾状态。

这是从3-SAT到你的硬币问题的多项式减少，表明它是NP难的。为了证明它是NP完全的，只需观察可以在多项式时间QED中检查硬币问题的解决方案。

Answer 2

One-in-three 3SAT简单地减少了问题的决策版本（根本没有配置吗？），这在NP中很简单。最大化版本是NP- hard （但不完整，因为它不是决策问题），甚至是必须具有令人满意的配置的承诺版本：将决策减少的输出添加到一个额外的硬币出现在所有的子集中，创造了一个糟糕的额外解决方案，其中硬币是头部而所有其他都是尾部。

Answer 3

完美匹配可以直接减少这个问题 - 将边缘表示为硬币，对于图形中的每个顶点创建一个事实，规定恰好一个附带边缘是头部。当且仅当存在硬币解决方案时，才存在原始图形中的完美匹配。

子集推理NP-complete？

3 个答案: