评估多项式？

Question

为什么使用快速傅立叶变换评估具有n个点的多项式需要O（n log n）时间？我特别谈到实现一种分而治之的算法，它将多项式A（x）分成偶数幂和奇数幂，然后使用递归。

Answer 1

让T（n）成为FFT算法用于评估n个点的n次多项式的时间。

算法拆分

A（X）= XB（X ^ 2）+ C（X ^ 2），

即。分为两个多项式：奇数和偶数系数。例如：3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9x + 7被分成x（3x ^ 2 + 9）+（2x ^ 2 + 7）。

最初你想在a，b，c，d点计算3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 9x + 7。

现在你想在a ² ，b ² ，c ² ，d 2 。稍后你将把它组合起来得到a，b，c，d的3x ^ 3 + 2x ^ 2 + 2x + 7的值。

关键思想：既然你使用了统一的根， ² 中的一半，b ² ，c ² ，d ² 是相同的。假设 ² = c ² 和b ² = d ² 。

所以你需要在 ² ，b ² 点计算3x + 2和2x + 7。

这意味着您将大小为N的实例缩减为两个大小为N / 2且O（N）后处理的实例。

FFT以递归方式重复此过程。这与mergesort的递归方程相同，即O（N log N）复杂度。