Question

鉴于以下马尔可夫矩阵：

import numpy, scipy.linalg
A = numpy.array([[0.9, 0.1],[0.15, 0.85]])

静止概率存在且等于[.6, .4]。通过采用矩阵的大功率，这很容易验证：

B = A.copy()
for _ in xrange(10): B = numpy.dot(B,B)

此处B[0] = [0.6, 0.4]。到现在为止还挺好。根据{{3}}：

静态概率向量定义为在应用转移矩阵时不变化的向量;也就是说，它被定义为概率矩阵的左特征向量，与特征值1相关：

所以我应该能够计算A的左特征向量，特征值为1，这也应该给出我的平稳概率。 wikipedia有一个左关键字：

scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)

给出：

(array([ 1.00+0.j,  0.75+0.j]), array([[ 0.83205029, -0.70710678],
   [ 0.5547002 ,  0.70710678]]))

其中主要的左特征向量是：[0.83205029, 0.5547002]。我读错了吗？如何使用特征值分解得到[0.6, 0.4]？

Answer 1

[0.83205029, 0.5547002]只是[0.6, 0.4]乘以~1.39。

虽然从“物理”的角度来看，你需要特征向量，其组件总和等于1，scaling eigenvector by some factor does not change it's "eigenness"：

如果是 $\vec{v} A = \lambda \vec{v}$ ，那么显然是 $(\alpha \vec{v}) A = \lambda (\alpha \vec{v})$

所以，要获得[0.6, 0.4]，你应该这样做：

>>> v = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
>>> v
array([ 0.83205029,  0.5547002 ])
>>> v / sum(v)
array([ 0.6,  0.4])

Answer 2

就本征向量而言，eig函数返回单位向量。

所以，如果我们采取 v = [0.6, 0.4]，其 length 为： l = np.sqrt(np.square(a).sum())或l = np.linalg.norm(v)，因此归一化向量（从scipy.linalg.eig返回）是：

>>> v = np.array([.6, .4])
>>> l = np.sqrt(np.square(a).sum())
>>> v / l
array([0.83205029, 0.5547002 ])

因此，如果您需要将向量作为马尔可夫链中的随机向量或概率向量，只需对其进行缩放以使其总和为1.0