与所有其他给定点相比曼哈顿距离最小的所有点[优化]

Question

这里的问题是找到所有整数点的集合，它给出了来自给定点集的所有曼哈顿距离的最小总和！

例如：

让我们得到一组给定的点{P1，P2，P3 ...... Pn}

基本问题是找到一个点，说X在点{P1，P2，P3 ... Pn}的所有距离上都有最小总和。

即。 | P1-X | + | P2-X | + .... + | Pn-X | = D，其中D对所有X都是最小的。

更进一步，可以有多个X值满足上述条件。即，可能有多个X可以给出相同的值D.因此，我们需要找到所有这样的X.

任何人都能想到的一个基本方法是找到输入的中位数，然后强调this post中提到的坐标

但是这种方法的问题是：如果中位数给出了两个非常分开的值，那么我们最终会强制所有在给定时间内永远不会运行的点。

那么，是否有任何其他方法可以在结果相距很远时给出结果（中位数给出的范围大约为10 ^ 9）。

Answer 1

您可以单独考虑X和Y，因为它们相互独立地增加了距离。这减少了在线上n个点找到与其他点之间的最小距离和的点的问题。这很简单：两个中位数（包括两个）之间的任何点都将满足这一点。

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证明：如果我们的积分数相等，则会有两个中位数。两个中位数之间的点将在左侧有n / 2个点，在右侧有n / 2个点，并且到S的那些点的总距离之和。

如果我们将它向左移动一个点，S将向上移动n / 2 （因为我们从最右边的点移开）并向下移动n / 2 （因为我们正朝着最左边的点移动），所以整体S保持不变。在我们达到最左边的中间点之前，这是正确的。当我们向左移动最左边的中间点时，我们现在有（n / 2 + 1）点到右边，而（n / 2 - 1）指向左边，所以S上升了两个。继续向左只会进一步增加S. 按照同样的逻辑，最右边中间点右边的所有点也都有较高的S值。

如果我们有一个奇数点，那么只有一个中位数。使用与上面相同的逻辑，我们可以证明它具有最低的S值。

Answer 2

如果中位数给出的间隔为10 ^ 9，那么该区间中的每个点都与其他任何点一样好。

因此，根据您稍后要对这些点做什么，您可以返回范围或枚举该范围内的点。没办法..

显然，在二维方面，你会得到一个三维的方形长方形等方法。

结果将始终是为每个维度获取的范围的笛卡尔积，因此您可以返回这些范围的列表。

Answer 3

由于在曼哈顿距离内每个组件单独提供，您也可以单独考虑它们。最佳答案是（中位数（x），中位数（y））。你需要环顾这一点来寻找整数解。

注意：我在回答时没有正确阅读您的问题。我的回答仍然存在，但可能你已经知道了这个解决方案。

Answer 4

是的我还认为，对于网格上的奇数N个点，将只有一个单点（即MEDIAN），它将与所有其他点的曼哈顿距离的最小总和。

对于N的偶数值，场景会有所不同。

根据我的说法，如果他们的笛卡尔乘积为X = {1,2} and Y= {3,4}，那么它们总是为4。

即X × Y = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}。这是我到目前为止所理解的。

对于偶数值，我们总是将“MIDDLE TWO”值作为MEDIAN。从X取2，从Y取2，将总是返回4点的笛卡尔乘积。

如果我错了，请纠正我。