Question

我在这里遇到一个问题，需要设计一个数据结构，该结构在以下三个操作中采用O（lg n）最坏的情况：

  a) Insertion: Insert the key into data structure only if it is not already there.
  b) Deletion: delete the key if it is there!
  c) Find kth smallest : find the ݇k-th smallest key in the data structure

我想知道我是否应该使用堆，但我仍然没有清楚的想法。我可以轻松地获得O（lg n）中的前两部分，甚至更快但不确定如何处理c）部分。

任何人都有任何想法请分享。

Answer 1

有两种解决方案：

使用平衡的二进制搜索树（红黑，AVG，Splay，......任何人都可以）。您已熟悉操作（1）和（2）。对于操作（3），只需在每个节点上存储一个额外的值：该子树中的节点总数。您可以轻松地使用此值来查找O（log（n））中的第k个最小元素。例如，假设您的树如下 - 根A有10个节点，左子B有3个节点，右子C有6个节点（3 + 6 + 1 = 10），假设你想要找到第8个最小元素，你知道你应该去右边。
使用跳过列表。它还支持平均所有（1），（2），（3）O（logn）操作，但实现起来可能要长一些。

Answer 2

好吧，如果您的数据结构保持元素排序，那么很容易找到第k个最低元素。

Answer 3

用于搜索和插入的二进制搜索树的最坏情况成本是O（N），而平均情况成本是O（lgN）。

因此，我建议使用红黑二进制搜索树，以保证搜索和插入的最坏情况复杂度为O（lgN）。

您可以阅读有关红黑树here的更多信息，并查看Java here中红黑BST的实现。
因此，在使用上述Red-Black BST实现找到第k个最小元素方面，您只需要调用 select 方法，传入 k 的值。 select 方法也可以保证最坏情况下的O（lgN）。

Answer 4

其中一个解决方案可能是使用快速排序策略。

步骤1：选择第一个元素作为枢轴元素并将其带到正确的位置。（最多n次检查）现在，当您到达此元素的正确位置时，请进行检查

步骤2.1：如果位置＆gt; k 您的元素位于第一个子列表中。所以你对第二个子列表不感兴趣。

步骤2.2如果位置

步骤2.3如果位置== k 你有元素打破了外观/递归

步骤3：使用适当的子列表重复步骤1到2.3

此解决方案的复杂性为O（n log n）

Answer 5

Heap不是用于查找数组的第K个最小元素的正确结构，因为您必须从堆中删除K-1元素才能到达Kth元素。

有一种更好的方法来寻找Kth最小元素，它依赖于中位数算法。基本上任何分区算法平均来说都足够好，但中位数中位数可以证明找到中位数的最坏情况O（N）时间。通常，此算法可用于查找任何特定元素，而不仅仅是中位数。

以下是C＃中此算法的分析和实现： Finding Kth Smallest Element in an Unsorted Array

P.S。在相关的说明中，您可以使用数组就地执行许多操作。数组是一个很棒的数据结构，只有当你知道如何在特定情况下组织它的元素时，你可能会非常快速地得到结果并且不需要额外的内存使用。

堆结构是一个很好的例子，QuickSort算法也是如此。这里有一个非常有趣的使用数组的例子（这个问题来自编程奥运会）： Finding a Majority Element in an Array

找到第k个最小元素数据结构

5 个答案: